1. a) Zapisz równania wszystkich okręgów o promieniu długości \(\displaystyle{ 6}\) stycznych do prostych \(\displaystyle{ x= -2}\) i \(\displaystyle{ y=3}\).
b) Zapisz równania okręgów stycznych do osi \(\displaystyle{ y}\) oraz do prostych \(\displaystyle{ x=3}\) i \(\displaystyle{ y=-5}\)
c) Zapisz równania okręgów, których środek leży na prostej \(\displaystyle{ x=-2}\), stycznych do prostych \(\displaystyle{ x=-5}\) i \(\displaystyle{ y=4}\)
2. Znajdź równania okręgów o środku \(\displaystyle{ S}\) stycznych do podanego okręgu:
a) \(\displaystyle{ S(2,4)}\), \(\displaystyle{ (x+2)^{2}+(y-1)^2=4}\)
i troszkę z innej beczki:
3. Zapisz warunek, który spełniają współrzędne punktów tworzących:
a) trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(-2,4), B=(6,0), C=(5,4)}\)
b) równoległobok o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(-2, -1) B=(0,4) C=(-2,7) D=-4,2)}\)
c) trapez o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(-1,-1) B=(7,1) C=(9,5) D=(-3,2)}\)
Proszę o pomoc. Nie wiem jak się za to zabrać.
Równanie okręgu
-
mlody3k
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 1 mar 2012, o 01:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 3city
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 24 razy
Równanie okręgu
1 a)
Zadanie łatwo rozwiązać graficznie rysując sobie te proste. A formalnie:
Poszukując okręgu szukamy tylko współrzędnych środka \(\displaystyle{ S(x_0,y_0)}\) gdyż promień \(\displaystyle{ r=6}\) już mamy. Więc: co to znaczy, że proste są styczne do okręgu? Dokładnie to, że odległość środka tego okręgu od tych prostych jest równa promieniowi. Zatem należy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} d(S,l_1)=6\\ d(S,l_2)=6\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest wzorem na odległość punktu od prostej, a \(\displaystyle{ l_1}\) i \(\displaystyle{ l_2}\) to równania naszych prostych . Jeżeli spokojnie przebijemy się przez układ równań, nie omijając żadnych przypadków, rozbijając moduły zgodnie z zasadami - znajdziemy ogólne równanie wszystkich takich okręgów.
1 b)
Tutaj podobnie, tylko, że szukamy \(\displaystyle{ x_0,\ y_0,\ r}\). Z formalnym podejściem byłoby trochę pisania więc najlepiej graficznie - widać od razu. Jeżeli formalnie - układ równań i analogicznie,.
1 c)
j.w.
2 a)
Co mamy? Środek i promień naszego danego w całości okręgu: \(\displaystyle{ S_1(-2,1)}\), \(\displaystyle{ r_1=2}\). I teraz trzeba pomyśleć: Czy okrąg będzie styczny wewnętrznie czy zewnętrznie? Bo dla dwóch tych wersji warunek będzie inny. Środek szukanego okręgu to \(\displaystyle{ S(2,4)}\) - punkt ten leży poza danym okręgiem, więc będzie to okrąg na pewno styczny zewnętrznie.
Co zatem charakteryzuje okręgi styczne zewnętrznie? Otóż to, że odległość między ich środkami jest równa sumie ich promieni. Jak narysujesz to zauważysz. Zatem do rozwiązania będzie tylko proste równanie:
\(\displaystyle{ d(S_1,S_0)=r_1+r}\)
gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest wzorem na odległość dwóch punktów.
W ćwiczenia spróbuj sobie ustalić jaki będzie warunek dla okręgów stycznych wewnętrznie.
Pozdrawiam.
Zadanie łatwo rozwiązać graficznie rysując sobie te proste. A formalnie:
Poszukując okręgu szukamy tylko współrzędnych środka \(\displaystyle{ S(x_0,y_0)}\) gdyż promień \(\displaystyle{ r=6}\) już mamy. Więc: co to znaczy, że proste są styczne do okręgu? Dokładnie to, że odległość środka tego okręgu od tych prostych jest równa promieniowi. Zatem należy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} d(S,l_1)=6\\ d(S,l_2)=6\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest wzorem na odległość punktu od prostej, a \(\displaystyle{ l_1}\) i \(\displaystyle{ l_2}\) to równania naszych prostych . Jeżeli spokojnie przebijemy się przez układ równań, nie omijając żadnych przypadków, rozbijając moduły zgodnie z zasadami - znajdziemy ogólne równanie wszystkich takich okręgów.
1 b)
Tutaj podobnie, tylko, że szukamy \(\displaystyle{ x_0,\ y_0,\ r}\). Z formalnym podejściem byłoby trochę pisania więc najlepiej graficznie - widać od razu. Jeżeli formalnie - układ równań i analogicznie,.
1 c)
j.w.
2 a)
Co mamy? Środek i promień naszego danego w całości okręgu: \(\displaystyle{ S_1(-2,1)}\), \(\displaystyle{ r_1=2}\). I teraz trzeba pomyśleć: Czy okrąg będzie styczny wewnętrznie czy zewnętrznie? Bo dla dwóch tych wersji warunek będzie inny. Środek szukanego okręgu to \(\displaystyle{ S(2,4)}\) - punkt ten leży poza danym okręgiem, więc będzie to okrąg na pewno styczny zewnętrznie.
Co zatem charakteryzuje okręgi styczne zewnętrznie? Otóż to, że odległość między ich środkami jest równa sumie ich promieni. Jak narysujesz to zauważysz. Zatem do rozwiązania będzie tylko proste równanie:
\(\displaystyle{ d(S_1,S_0)=r_1+r}\)
gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest wzorem na odległość dwóch punktów.
W ćwiczenia spróbuj sobie ustalić jaki będzie warunek dla okręgów stycznych wewnętrznie.
Pozdrawiam.