Równanie płaszczyzny zawierającej punkt

[lsk14]

Znaleźć równanie normalne płaszczyzny przechodzącej przez \(\displaystyle{ p=(1,-3,2)}\) i zawierającą prostą o równaniach krawędziowych \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-y+2z+1=0 \\ x-3y+z=0 \end{cases}}\). Największe problemy mam z tym podwójnym równaniem krawędziowym , co to oznacza?
bo w sumie to w tym wzorze jest już chyba zawarta odpowiedź
Jeśli dana jest prosta l w postaci krawędziowej:
\(\displaystyle{ \begin{cases}A_1x + B_1y + C_1y + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2y + D_2 = 0 \end{cases}}\)
to pęk płaszczyzn przechodzących przez tę prostą wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ A_1x + B_1y + C_1y + D_1 + k(A_2x + B_2y + C_2y + D_2) = 0}\)
Prosiłbym chociaż o drobne podpowiedzi.

[mlody3k]

Postać krawędziowa prostej, jak zauważyłeś zawiera równania dwóch płaszczyzn (w twoim przypadku są to płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_1:3x-y+2z+1=0}\) i \(\displaystyle{ \pi_2:x-3y+z=0}\)). Prosta zadawana przez tę postać jest przecięciem tych płaszczyzn. Dość intuicyjne.

A co do twojego zadania: Jak zwykle przy tego typu przykładach rozwiązań jest mnóstwo, chociażby przez twój pęk płaszczyzn, ale ja nigdy nie lubiłem się w to bawić, więc moje rozwiązanie byłoby takie:
1. Znalazłbym wektor kierunkowy twojej prostej - czyli równoległy do niej, a co za tym idzie - wektor równoległy do szukanej płaszczyzny

Ukryta treść:    

W przypadku postaci krawędziowej - najszybciej odnajdziesz wektor kierunkowy jako iloczyn wektorowy wektora normalnego pierwszej i drugiej płaszczyzny. W twoim przypadku będzie to: \(\displaystyle{ [3,-1,2]\times[1,-3,1]}\)

2. Znalazłbym dowolny punkt \(\displaystyle{ p_1}\) należący do zadanej prostej (a co za tym idzie - również do płaszczyzny)

Ukryta treść:    

Tutaj chyba problemów nie ma, oczywiście sposobów jest mnóstwo, ale można też pół strzelać pół liczyć

3. Teraz miałbym dwa punkty \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p_1}\) oraz wektor \(\displaystyle{ \vec{N}}\). Wyprodukowałbym jeszcze jeden wektor \(\displaystyle{ \vec{N_1}}\) zaczepiony między punktami \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p_1}\).

Ukryta treść:    

Wektor zaczepiony między punktami \(\displaystyle{ P_1(x_1,y_1)}\) i \(\displaystyle{ P_2(x_2,y_2)}\) to oczywiście \(\displaystyle{ P_1P_2=[x_2-x_1,y_2-y_1]}\)

4. W efekcie miałbym dwa wektory które są równoległe do twojej poszukiwanej płaszczyzny.

Ukryta treść:    

Dokładnie tak. Jeden kierunkowy prostej zawartej w płaszczyźnie, jeden wyprodukowany z dwóch punktów na niej leżących

5. Iloczyn wektorowy między powyższymi wektorami byłby wektorem prostopadłym do jednego i do drugiego - czyli prostopadłym do płaszczyzny. Otrzymałbyś zatem wektor normalny szukanej płaszczyzny.

Ukryta treść:    

Wiadomo jak działa iloczyn wektorowy - tworzy wektor prostopadły od jednego i do drugiego

6. Mając wektor normalny i punkt - masz już wszystko czego potrzebujesz do stworzenia równania szukanej płaszczyzny

I koniec zadania

[lsk14]

a można wyznaczyć dowolne dwa punkty na prostej i po prostu znaleźć równanie przechodzące przez 3 punkty ?

[Qń]

Rozwiązanie jest natychmiastowe - każda płaszczyzna zawierająca podaną prostą ma równanie postaci:
\(\displaystyle{ 3x-y+2z+1+k\cdot ( x-3y+z)=0}\) (dla pewnego \(\displaystyle{ k}\))
Z tego pęku płaszczyzn wybieramy tę, która zawiera punkt \(\displaystyle{ (1,-3,2)}\) - wystarczy więc sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) ten punkt spełnia powyższe równanie.

Q.

[lsk14]

dla \(\displaystyle{ k=- \frac{11}{12}}\) jednak nie wychodzi mi z tego płaszczyzna przecinająca nasz punkt.

[Qń]

Zastanów się dobrze - dobierasz \(\displaystyle{ k}\) w ten sposób, żeby punkt spełniał to równanie, a następnie stwierdzasz, że dla dobranego \(\displaystyle{ k}\) punkt nie spełnia równania? Nie wydaje Ci się to zupełnie bez sensu?

Sprawdź jeszcze raz swoje rachunki.

Q.

[lsk14]

Tak , mój błąd, dzięki. Istnieje tylko jedna taka płaszczyzna ? Jak sprawdzić czy ta prosta należy do tej płaszczyzny ? Czy to co napisałem wcześniej o tych 3 punktach jest błędem ? Te pytania zadałem dlatego bo że tym moim sposobem wyszła płaszczyzna x=1 co chyba jest prawdą.

[Qń]

Jeśli punkt nie należy do prostej (a tu nie należy), to owszem: prosta i punkt jednoznacznie wyznaczają płaszczyznę.

Oczywiście nie ma potrzeby sprawdzać czy dana prosta należy do znalezionej płaszczyzny, bo przecież wybraliśmy ją z pęku płaszczyzn zawierających tę prostą.

Oczywiście też można było wyznaczyć dwa dowolne punkty prostej i mając trzy punkty wyznaczyć równanie płaszczyzny, ale to zajmuje dużo więcej czasu. Wynik wychodzi jednak dokładnie taki sam.

Q.

[lsk14]

Może rozwiązałeś te zadanie? jak tak mógłbyś podać równanie tej płaszczyzny ? czy punkty \(\displaystyle{ p=(1,61), (1,1,2)}\) chyba nie bo powinny spełniać oba równania prostej ?

[Qń]

Ale w czym jest problem? Jeśli znajdziesz prawidłowe \(\displaystyle{ k}\), to wystarczy wstawić to \(\displaystyle{ k}\) do równania pęku płaszczyzn i uporządkować - otrzymasz wtedy równanie szukanej płaszczyzny.

A pytania o punkty nie zrozumiałem, zapomniałeś użyć jakiegoś czasownika.

Q.

[lsk14]

tak zapomniałem napisać : należą.
Równanie płaszczyzny znalazłem \(\displaystyle{ \frac{25}{12}x+ \frac{21}{12}y+ \frac{13}{12}z+1}\)
Te wszystkie pytania zadaję by rozwiać wątpliwości.-- 14 mar 2013, o 14:26 --możesz rozwiać moją ostatnią wątpliwość czy te punkty co wyżej napisałem należą do tej prostej ?