Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 10 mar 2013, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
Znaleźć równanie normalne płaszczyzny przechodzącej przez \(\displaystyle{ p=(1,-3,2)}\) i zawierającą prostą o równaniach krawędziowych \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-y+2z+1=0 \\ x-3y+z=0 \end{cases}}\). Największe problemy mam z tym podwójnym równaniem krawędziowym , co to oznacza?
bo w sumie to w tym wzorze jest już chyba zawarta odpowiedź
Jeśli dana jest prosta l w postaci krawędziowej:
\(\displaystyle{ \begin{cases}A_1x + B_1y + C_1y + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2y + D_2 = 0 \end{cases}}\)
to pęk płaszczyzn przechodzących przez tę prostą wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ A_1x + B_1y + C_1y + D_1 + k(A_2x + B_2y + C_2y + D_2) = 0}\)
Prosiłbym chociaż o drobne podpowiedzi.
bo w sumie to w tym wzorze jest już chyba zawarta odpowiedź
Jeśli dana jest prosta l w postaci krawędziowej:
\(\displaystyle{ \begin{cases}A_1x + B_1y + C_1y + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2y + D_2 = 0 \end{cases}}\)
to pęk płaszczyzn przechodzących przez tę prostą wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ A_1x + B_1y + C_1y + D_1 + k(A_2x + B_2y + C_2y + D_2) = 0}\)
Prosiłbym chociaż o drobne podpowiedzi.
Ostatnio zmieniony 11 mar 2013, o 16:50 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a (indeksy dolne). Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Poprawa wiadomości.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a (indeksy dolne). Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Poprawa wiadomości.
- mlody3k
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 1 mar 2012, o 01:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 3city
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 24 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
Postać krawędziowa prostej, jak zauważyłeś zawiera równania dwóch płaszczyzn (w twoim przypadku są to płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_1:3x-y+2z+1=0}\) i \(\displaystyle{ \pi_2:x-3y+z=0}\)). Prosta zadawana przez tę postać jest przecięciem tych płaszczyzn. Dość intuicyjne.
A co do twojego zadania: Jak zwykle przy tego typu przykładach rozwiązań jest mnóstwo, chociażby przez twój pęk płaszczyzn, ale ja nigdy nie lubiłem się w to bawić, więc moje rozwiązanie byłoby takie:
1. Znalazłbym wektor kierunkowy twojej prostej - czyli równoległy do niej, a co za tym idzie - wektor równoległy do szukanej płaszczyzny
2. Znalazłbym dowolny punkt \(\displaystyle{ p_1}\) należący do zadanej prostej (a co za tym idzie - również do płaszczyzny)
3. Teraz miałbym dwa punkty \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p_1}\) oraz wektor \(\displaystyle{ \vec{N}}\). Wyprodukowałbym jeszcze jeden wektor \(\displaystyle{ \vec{N_1}}\) zaczepiony między punktami \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ p_1}\).
4. W efekcie miałbym dwa wektory które są równoległe do twojej poszukiwanej płaszczyzny.
5. Iloczyn wektorowy między powyższymi wektorami byłby wektorem prostopadłym do jednego i do drugiego - czyli prostopadłym do płaszczyzny. Otrzymałbyś zatem wektor normalny szukanej płaszczyzny.
6. Mając wektor normalny i punkt - masz już wszystko czego potrzebujesz do stworzenia równania szukanej płaszczyzny
I koniec zadania
A co do twojego zadania: Jak zwykle przy tego typu przykładach rozwiązań jest mnóstwo, chociażby przez twój pęk płaszczyzn, ale ja nigdy nie lubiłem się w to bawić, więc moje rozwiązanie byłoby takie:
1. Znalazłbym wektor kierunkowy twojej prostej - czyli równoległy do niej, a co za tym idzie - wektor równoległy do szukanej płaszczyzny
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
I koniec zadania
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 10 mar 2013, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
a można wyznaczyć dowolne dwa punkty na prostej i po prostu znaleźć równanie przechodzące przez 3 punkty ?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
Rozwiązanie jest natychmiastowe - każda płaszczyzna zawierająca podaną prostą ma równanie postaci:
\(\displaystyle{ 3x-y+2z+1+k\cdot ( x-3y+z)=0}\) (dla pewnego \(\displaystyle{ k}\))
Z tego pęku płaszczyzn wybieramy tę, która zawiera punkt \(\displaystyle{ (1,-3,2)}\) - wystarczy więc sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) ten punkt spełnia powyższe równanie.
Q.
\(\displaystyle{ 3x-y+2z+1+k\cdot ( x-3y+z)=0}\) (dla pewnego \(\displaystyle{ k}\))
Z tego pęku płaszczyzn wybieramy tę, która zawiera punkt \(\displaystyle{ (1,-3,2)}\) - wystarczy więc sprawdzić dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) ten punkt spełnia powyższe równanie.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 10 mar 2013, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
dla \(\displaystyle{ k=- \frac{11}{12}}\) jednak nie wychodzi mi z tego płaszczyzna przecinająca nasz punkt.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
Zastanów się dobrze - dobierasz \(\displaystyle{ k}\) w ten sposób, żeby punkt spełniał to równanie, a następnie stwierdzasz, że dla dobranego \(\displaystyle{ k}\) punkt nie spełnia równania? Nie wydaje Ci się to zupełnie bez sensu?
Sprawdź jeszcze raz swoje rachunki.
Q.
Sprawdź jeszcze raz swoje rachunki.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 10 mar 2013, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
Tak , mój błąd, dzięki. Istnieje tylko jedna taka płaszczyzna ? Jak sprawdzić czy ta prosta należy do tej płaszczyzny ? Czy to co napisałem wcześniej o tych 3 punktach jest błędem ? Te pytania zadałem dlatego bo że tym moim sposobem wyszła płaszczyzna x=1 co chyba jest prawdą.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
Jeśli punkt nie należy do prostej (a tu nie należy), to owszem: prosta i punkt jednoznacznie wyznaczają płaszczyznę.
Oczywiście nie ma potrzeby sprawdzać czy dana prosta należy do znalezionej płaszczyzny, bo przecież wybraliśmy ją z pęku płaszczyzn zawierających tę prostą.
Oczywiście też można było wyznaczyć dwa dowolne punkty prostej i mając trzy punkty wyznaczyć równanie płaszczyzny, ale to zajmuje dużo więcej czasu. Wynik wychodzi jednak dokładnie taki sam.
Q.
Oczywiście nie ma potrzeby sprawdzać czy dana prosta należy do znalezionej płaszczyzny, bo przecież wybraliśmy ją z pęku płaszczyzn zawierających tę prostą.
Oczywiście też można było wyznaczyć dwa dowolne punkty prostej i mając trzy punkty wyznaczyć równanie płaszczyzny, ale to zajmuje dużo więcej czasu. Wynik wychodzi jednak dokładnie taki sam.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 10 mar 2013, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
Może rozwiązałeś te zadanie? jak tak mógłbyś podać równanie tej płaszczyzny ? czy punkty \(\displaystyle{ p=(1,61), (1,1,2)}\) chyba nie bo powinny spełniać oba równania prostej ?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
Ale w czym jest problem? Jeśli znajdziesz prawidłowe \(\displaystyle{ k}\), to wystarczy wstawić to \(\displaystyle{ k}\) do równania pęku płaszczyzn i uporządkować - otrzymasz wtedy równanie szukanej płaszczyzny.
A pytania o punkty nie zrozumiałem, zapomniałeś użyć jakiegoś czasownika.
Q.
A pytania o punkty nie zrozumiałem, zapomniałeś użyć jakiegoś czasownika.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 10 mar 2013, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 8 razy
Równanie płaszczyzny zawierającej punkt
tak zapomniałem napisać : należą.
Równanie płaszczyzny znalazłem \(\displaystyle{ \frac{25}{12}x+ \frac{21}{12}y+ \frac{13}{12}z+1}\)
Te wszystkie pytania zadaję by rozwiać wątpliwości.-- 14 mar 2013, o 14:26 --możesz rozwiać moją ostatnią wątpliwość czy te punkty co wyżej napisałem należą do tej prostej ?
Równanie płaszczyzny znalazłem \(\displaystyle{ \frac{25}{12}x+ \frac{21}{12}y+ \frac{13}{12}z+1}\)
Te wszystkie pytania zadaję by rozwiać wątpliwości.-- 14 mar 2013, o 14:26 --możesz rozwiać moją ostatnią wątpliwość czy te punkty co wyżej napisałem należą do tej prostej ?