Matematyka.pl

Dany jest zbiór trójkątów prostokątnych leżących w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych, których przyprostokątne zawarte są w osiach układu współrzędnych. Pole każdego trójkąta jest równe 24. Wyznacz równanie krzywej, utworzonej przez środki przeciwprostokątnych tych trójkątów.

Końce przeciwprostokątnych mają współrzędne postaci \(\displaystyle{ (x,0),(0,y)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\). Ponieważ trójkąty znajdują się w II i IV ćwiartce układu współrzędnych, mamy \(\displaystyle{ xy<0}\). Ponadto na podstawie wzoru na pole trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ |xy|=48}\), tj. w myśl powyższego \(\displaystyle{ xy=-48}\).
Ze wzoru na współrzędne środka odcinka wynika, że środki przeciwprostokątnych znajdują się w punktach \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)}\).

Stąd \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)=\left(\frac{x}{2},-\frac{24}{x}\right)=\left(\frac{x}{2},-\frac{12}{\frac{x}{2}}\right)}\), więc równanie szukanej krzywej ma postać \(\displaystyle{ y=-\frac{12}{x}}\).