Dokończenie dowodu, że norma euklidesowa jest normą

[pawellogrd]

Chcę udowodnić, że norma euklidesowa jest normą. Niezdegenerowanie i jednorodność nie stanowią problemu. Problemem natomiast jest dowód, że

\(\displaystyle{ \left| \left| x + y \right| \right| \le \left| \left| x \right| \right| + \left| \left| y \right| \right|}\)

gdzie \(\displaystyle{ x,y \in R^N}\)

W jaki sposób ten dowód przeprowadzić?

[szw1710]

Nierówność Minkowskiego.

[yorgin]

Bez nierówności Minkowskiego, ale za to z nierówności Schwarza - podnieść obie strony badanej nierówności do kwadratu.

[pawellogrd]

Nierówność Minkowskiego to jasne jak zrobić. Natomiast zastanawia mnie Schwarz (pokażę ten moment, w którym jest problem bez wcześniejszych obliczeń):

\(\displaystyle{ \left| \left| x + y \right| \right| \le \left| \left| x \right| \right| + \left| \left| y \right| \right|}\)

\(\displaystyle{ \left| \left| x + y \right| \right|^2 \le \sum_{d=1}^D x_d^2 + 2\left( \sum_{d=1}^D x_d^2 \right) \left( \sum_{d=1}^D y_d^2 \right) + \sum_{d=1}^D y_d^2 = \left| \left| x \right| \right|^2 + 2 \left| \left| x \right| \right|^2 \left| \left| y \right| \right|^2 + \left| \left| y \right| \right|^2}\)

I problem jest w środkowym czynniku, że są tam te kwadraty. Gdyby było \(\displaystyle{ \left| \left| x \right| \right|^2 + 2 \left| \left| x \right| \right| \left| \left| y \right| \right| + \left| \left| y \right| \right|^2 = \left( \left| \left| x \right| \right| \right + \left| \left| y \right| \right| )^2}\) to by wszystko jak widać grało. Co więc zrobić z tamtymi "zbędnymi" kwadratami?

[yorgin]

Nie wiem, na ile jest to dla Ciebie widoczne, ale

\(\displaystyle{ ||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2|\langle x,y\rangle|\leq ||x||^2+||y||^2+2||x||||y||=(||x||+||y||)^2}\)

przy czym nierówność bierze się właśnie ze Schwarza. A nią samą można wyprowadzić elementarnie badając wyróżnik wielomianu

\(\displaystyle{ f(t)=\sum_i (t|x_i|+|y_i|)^2}\)

W razie potrzeby więcej szczegółów dopiero za około 12h.

[pawellogrd]

Ok, już wiem jak to ma być. Dzięki!

[szw1710]

W pierwszym momencie też chciałem pisać o Schwarzu.

[pawellogrd]

Nierówności nigdy za wiele, dopóki są przydatne

[yorgin]

Zaproponowałem alternatywę ze Schwarzem dlatego, że jest bardziej elementarny i klasyczny. Nierówność Minkowskiego według mnie ma zbyt trikowy dowód, a Schwarz wychodzi z funkcji kwadratowej albo prostych rozważań iloczynu skalarnego.

Co kto lubi