powierzchnia ziemi - oblicz

[matematyk1995]

Witam. Mam zadanie. Oblicz pole części powierzchni ziemi zawartej miedzy południkami \(\displaystyle{ \varphi =30 ^{o}}\) , \(\displaystyle{ \varphi = 60 ^{o}}\) i równoleżnikami \(\displaystyle{ \theta =45 ^{o}}\) i \(\displaystyle{ \theta =60 ^{o}}\). Prosze o pomoc bo nie mam pojęcia jak to zrobic.

[jarek4700]

Całka podwójna z jedynki we współrzędnych sferycznych, kąty muszą się zmieniać w podanych granicach:

\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} R^{2} \cos \theta d \theta d \phi = R^{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta d \theta d \phi}\)

To nie jest trudna całka do policzenia.

[yorgin]

Wiek lat 17 o ile nie jest przkłamaniem wskazuje na trochę inny poziom wiedzy z zakresu analizy funkcji wielu zmiennych...

[matematyk1995]

Tą całkę policzę bez problemu, gorzej jest tylko z tym, skąd ona się wzięła. Mógłbyś mi to ładnie rozpisać? Będe wdzięczny. Mam 17 lat, ale to jest zadanie dodatkowe, nie standardowe. A no i mam pytanie co mam zrobić jak policze całke cząstkową tzn. z \(\displaystyle{ \theta d \phi}\) . Jak to pozniej policzyć?

[jarek4700]

To w środku to jest jakobian dla współrzędnych sferycznych i on jest zawsze taki, a granice skąd się wzięły to chyba wiesz?

[matematyk1995]

Granice wiem. Jeszcze tylko o jedno chce spytać: jak policzyć całkę po zmiennej\(\displaystyle{ \phi}\) ?

[jarek4700]

To będzie całka ze stałej którą i tak można przed całkę wywalić.

[matematyk1995]

Mógłbyś sprawdzić moje obliczenia?

\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} R^{2} \cos \theta d \theta d \phi = R^{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta d \theta d \phi = R^{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta d \phi\right] d \theta =}\)

\(\displaystyle{ =\left| \int_{\frac{}{}}^{\frac{}{}} \cos \theta d \phi = \cos \theta \int_{\frac{}{}}^{\frac{}{}} d \phi \Rightarrow \left[ \cos \theta * \phi \right] = \left[ \cos \theta \frac{ \pi }{3} \right] - \left[ \cos \theta \frac{ \pi }{4} \right] = \frac{ \pi }{12} \cos \theta \right| = R^{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{ \pi }{12} \cos \theta d \theta =}\)


\(\displaystyle{ = \frac{ \pi }{12} R^{2} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos \theta d \theta}\)

\(\displaystyle{ \left|\int_{\frac{}{}}^{\frac{}{}} \cos \theta d \theta = \sin \theta \Rightarrow \left[ \sin \theta\right]=\left[ \sin \frac{ \pi }{3} \right] - \left[ \sin \frac{ \pi }{6} \right] = \frac{ \sqrt{3} -1}{2} \right| = \frac{R ^{2} \pi ( \sqrt{3} -1) }{12}}\) czy to jest dobrze ?

[jarek4700]

Dlaczego pierwiastek z trzech? Poza tym wynik jest dobry.

[matematyk1995]

Sinus z 60 stopni to pierwiastek z trzech przez dwa.
Ale i tak pomylilem przedziały trochę, ale już wiem na czym to polega.

Dzięki za pomoc.

[jarek4700]

Jednak w odpowiedzi powinien być pierwiastek z dwóch - błąd zrobiłeś wcześniej zamieniając kolejność zmiennych (chociaż to i tak nic nie daje) a zapomniałeś zamienić granic.