Zbiór okręgów przechodzących przez punkt

[S_Olewniczak]

Znajdź zbiór środków wszystkich okręgów przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P=(3, 2)}\) i stycznych do osi \(\displaystyle{ Ox}\).

Intuicja mi podpowada, że środki tych okręgów muszą leżeć na paraboli, jednak pojęcia nie mam dlaczego tak to miałoby się dziać i jak to udowodnić. Proszę o pomoc.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ (a,b)}\) będą współrzędnymi środka dowolnego okręgu przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ P}\) i stycznego do osi \(\displaystyle{ OX}\).

Ponieważ okrąg ten jest styczny do osi \(\displaystyle{ OX}\), to jego promień ma długość \(\displaystyle{ |b|}\) (tak naprawdę \(\displaystyle{ b}\), ale nie będzie to potrzebne w dalszych rozważaniach).
Zatem równanie okręgu jest postaci \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=b^2}\).

Co więcej okrąg przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P}\), więc mamy

\(\displaystyle{ (3-a)^2+(2-b)^2=b^2}\).

Z otrzymanej zależności wyznacz \(\displaystyle{ b}\) jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ a}\).