1. Zapisz równania prostych stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}=5}\) przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P=(0,5)}\)
2. Znajdź równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+y^{2}=3}\):
a) równoległych do prostej \(\displaystyle{ y=3x+5}\)
b) prostopadłych do prostej \(\displaystyle{ x+2y-3 = 0}\)
3. Dla jakich wartości p okrąg \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=p}\) ma dwa punkty wspólne z prostą \(\displaystyle{ y=2x-2}\) ?
4. Dla jakich wartości parametrów a i b prosta \(\displaystyle{ y = ax + b}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ 3x+y-6=0}\) i rozłączna z okręgiem \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4}\)
Wzajemne położenie okręgu i prostej
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Wzajemne położenie okręgu i prostej
Wszystkie robi się "na jedno kopyto", albo korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej, albo z delty, no i wykorzystując warunki równoległości/prostopadłości prostych.
Np. 1. Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Skoro przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P}\), to jest spełniony warunek \(\displaystyle{ 5=0x+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=5}\).
Szukamy punktów wspólnych prostej i okręgu (ma być tylko jeden!)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
y=ax+5\\ x^2+y^2=5\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ x^2+(ax+5)^2=5}\)
\(\displaystyle{ x^2+a^2x^2+10ax+25=5}\)
\(\displaystyle{ (1+a^2)x^2+10ax+20=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=100a^2-80(1+a^2)=20a^2-80}\)
No i teraz
\(\displaystyle{ \Delta=0\iff 20a^2-80=0}\)
\(\displaystyle{ a^2=4}\)
wyliczasz wartości \(\displaystyle{ a}\) i podstawiasz do równania prostej.
W 3. piszemy równanie prostej w postaci ogólnej \(\displaystyle{ 2x-y-2=0}\).
Odległość środka okręgu od tej prostej jest równa
\(\displaystyle{ d=\frac{|2\cdot1-1\cdot(-3)-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}}\).
Aby prosta i okrąg miały dwa punkty wspólne, to ta odległość musi być mniejsza od promienia, czyli
\(\displaystyle{ \frac{|2\cdot1-1\cdot(-3)-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}<\sqrt{p}}\)
No i rozwiązujesz prościutką nierówność.
W pozostałych podobnie.
Np. 1. Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Skoro przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P}\), to jest spełniony warunek \(\displaystyle{ 5=0x+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=5}\).
Szukamy punktów wspólnych prostej i okręgu (ma być tylko jeden!)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
y=ax+5\\ x^2+y^2=5\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ x^2+(ax+5)^2=5}\)
\(\displaystyle{ x^2+a^2x^2+10ax+25=5}\)
\(\displaystyle{ (1+a^2)x^2+10ax+20=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=100a^2-80(1+a^2)=20a^2-80}\)
No i teraz
\(\displaystyle{ \Delta=0\iff 20a^2-80=0}\)
\(\displaystyle{ a^2=4}\)
wyliczasz wartości \(\displaystyle{ a}\) i podstawiasz do równania prostej.
W 3. piszemy równanie prostej w postaci ogólnej \(\displaystyle{ 2x-y-2=0}\).
Odległość środka okręgu od tej prostej jest równa
\(\displaystyle{ d=\frac{|2\cdot1-1\cdot(-3)-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}}\).
Aby prosta i okrąg miały dwa punkty wspólne, to ta odległość musi być mniejsza od promienia, czyli
\(\displaystyle{ \frac{|2\cdot1-1\cdot(-3)-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}<\sqrt{p}}\)
No i rozwiązujesz prościutką nierówność.
W pozostałych podobnie.