Otoczenie punktu P

[asiamarz]

Hej, mam zadanie:
Narysuj i zapisz wzorem otoczenie punktu \(\displaystyle{ P_0(-1,4;1,4)}\) zawarte w dziedzinie naturalnej funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\ln(4-x ^{2}-y ^{2})}\)

Wyznaczyłam dziedzinę;
\(\displaystyle{ 4-x ^{2}-y ^{2} >0}\)
będzie to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=2}\)
i teraz wiem że to otoczenie to \(\displaystyle{ d(P_0P)<r}\)
i teraz nie wiem co przyjąć za promień, czy ta wartość z dziedziny czy jakaś inna wartość

Gdy przyjęłam ten promień równy \(\displaystyle{ 2}\) to otrzymałam równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ S(-1,4;1,4)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\).
Proszę o pomoc.
Z góry dziękuję za odpowiedź.
Pozdrawiam

[lukasz1804]

Dziedziną funkcji jest koło bez brzegu, a nie okrąg.

Otoczenie punktu musi być mniejsze (koło o promieniu \(\displaystyle{ 2}\) jest stanowczo za duże, bo należy zadbać, by zmieściło się w dziedzinie funkcji - punkt \(\displaystyle{ P_0}\) leży dość blisko brzegu).

Pytanie, które się nasuwa, to jak blisko brzegu dziedziny funkcji leży punkt \(\displaystyle{ P_0}\). Trzeba obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ P_0}\) od okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\).
Okrąg ten można łatwo sparametryzować: \(\displaystyle{ x=2\cos t, y=2\sin t}\) dla \(\displaystyle{ t\in\langle 0,2\pi)}\). Należy zatem wyznaczyć takie \(\displaystyle{ t}\), by odległość punktów \(\displaystyle{ P_0}\) i \(\displaystyle{ (2\cos t, 2\sin t)}\) była możliwie najmniejsza. Wystarczy rozważyć tak naprawdę kwadrat tej odległości.

Mamy \(\displaystyle{ d^2\left(P_0,(2\cos t,2\sin t)\right)=(2\cos t+1,4)^2+(2\sin t-1,4)^2=5,6(\cos t-\sin t)+7,92}\).
Rozważ zatem funkcję \(\displaystyle{ g(t)=\cos t-\sin t}\) dla \(\displaystyle{ t\in\langle 0,2\pi)}\) i wyznacz \(\displaystyle{ t}\), dla którego \(\displaystyle{ g(t)}\) osiąga wartość najmniejszą. Dla znalezionego \(\displaystyle{ t}\) oblicz wartość \(\displaystyle{ d^2\left(P_0,(2\cos t,2\sin t)\right)}\). Będzie to kwadrat długości promienia koła stanowiącego otoczenie punktu \(\displaystyle{ P_0}\).

[asiamarz]

Otrzymałam \(\displaystyle{ g(x)=2\sin \left( t+ \frac{\pi}{6} \right)}\)
Najmniejsza wartość \(\displaystyle{ -2}\). I tu problem bo ujemna wartość.

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ g(t)=\cos t-\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=-2\sin\frac{t+\frac{\pi}{2}-t}{2}\sin\frac{t-\frac{\pi}{2}+t}{2}=-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right)}\)

Najmniejsza wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest osiągana dla \(\displaystyle{ t=\frac{3}{4}\pi}\) i wynosi \(\displaystyle{ -\sqrt{2}}\). Jest ona ujemna, ale to nie przeszkadza w tym, by funkcja kwadratu odległości określona przed funkcją \(\displaystyle{ g}\) przyjmowała wartość dodatnią (co prawda dość bliską zeru).

[asiamarz]

Jak się okazało nie trzeba było tak kombinować, promień był 0,04 tego koła o środku w Po. z tw. pitagoraca, co znacznie ułatwiło rozwiązanie. Dziękuję za okazaną pomoc