Jak znaleźć równanie dwusiecznej?

[matfka]

Napisz równanie parametryczne i kierunkowe prostej będącej dwusieczną kąta utworzonego przez proste
\(\displaystyle{ l _{1}:\left\{\begin{matrix}
x+2y-z+4=0\\
y+z-3=0
\end{matrix}\right.}\)

\(\displaystyle{ l _{2}:\left\{\begin{matrix}
2x-y-2z+8=0\\
x+2y+2z-5=0
\end{matrix}\right.}\)

Obliczyłam punkt przecięcia się tych prostych \(\displaystyle{ P=(-1,0,3)}\) no i ten punkt będzie należał również do dwusiecznej którą oznaczę \(\displaystyle{ k}\)
i teraz pewnie potrzebuje wektora równoległego do \(\displaystyle{ k}\) tylko to jest moje pierwsze zadanie z geometri analitycznej i nie bardzo wiem jak go znaleźć

Myślę, że mogę to zrobić tak, że porównam odległości punktu leżącego na prostej \(\displaystyle{ k}\) niech to będzie \(\displaystyle{ P _{0} =(x,y,z)}\) wzór na odległość punktu od prostej to \(\displaystyle{ d(P_{0},l_{1})=\frac{\left \| PP_{0}\times v \right \|}{\left \| v \right \|}}\) \(\displaystyle{ PP _{0} =[x+1,y,z-3]}\) i tutaj pytanie czy \(\displaystyle{ v}\) będzie taki sam w przyp \(\displaystyle{ l _{1}}\) i \(\displaystyle{ l _{2}}\) i jak wygląda ten \(\displaystyle{ v}\)

[Gadziu]

A wiesz co to jest dwusieczna?

[matfka]

Tak. Wyżej napisałam co wymyśliłam

[Gadziu]

No w dobrą stronę idziesz:) Dwusieczna jest zbiorem takich punktów, które są równo odległe od ramion kąta, więc musisz porównać obie odległości i wyliczyć. Inny sposób, który mi właśnie do głowy przyszedł to znaleźć dwie proste prostopadłe do \(\displaystyle{ l_{1}, l_{2}}\) takie, że będą równo odległe od wierzchołka kąta i punkt przecięcia tych prostych będzie twoim drugim szukanym punktem na prostej \(\displaystyle{ k}\).

[lukasz1804]

Można jeszcze inaczej (to też moje spostrzeżenie niejako na bieżąco).

Zauważ, że co prawda przekątna w równoległoboku nie jest na ogół zawarta w dwusiecznej kąta, ale w rombie fakt ten ma już miejsce.

Mając dane dwa wektory kierunkowe \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}}\) prostych nie mamy pewności, że mają one jednakową długość. W razie gdyby były różnej długości możemy jednak rozważyć odpowiednie wektory unormowane \(\displaystyle{ \vec{u_1}=\frac{1}{\|\vec{u}\|}\vec{u}, \vec{v_1}=\frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}}\) (tzn. każdy z wektorów wystarczy podzielić przez jego długość). Oczywiście kąt między tymi wektorami unormowanymi \(\displaystyle{ \vec{u_1}, \vec{v_1}}\) jest taki sam jak kąt między danymi na początku wektorami \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}}\).
Jako wektory dwusiecznych wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ \vec{u_1}+\vec{v_1}, \vec{u_1}-\vec{v_1}}\).

[Gadziu]

Też fajne I za to uwielbiam matematykę, jeden problem, a wiele sposobów rozwiązania. No to teraz sobie wybierz jakim sposobem chcesz rozwiązać

[matfka]

Dziękuję Panom pięknie za pomoc