Napisz równanie okręgu o średnicy AB jeśli \(\displaystyle{ A=(-3,-3) B=(5,5).}\) Wyznacz równanie stycznej do tego okręgu w punkcie A.
\(\displaystyle{ A=(-3,-3)
B=(5,5)}\)
\(\displaystyle{ S= (\frac{-3+5}{2}, \frac{-3+5}{2})}\)
\(\displaystyle{ S=(1,1)}\)
Równanie okręgu : \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+ (y-1)^{2}= r^{2}}\)
I teraz jak obliczyć \(\displaystyle{ r^{2}}\) i jak wyznaczyć styczną do okręgu w punkcie A?
Rownanie okregu i stycznej
-
Kacper20
- Użytkownik
- Posty: 344
- Rejestracja: 14 lut 2013, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nisko
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 52 razy
Rownanie okregu i stycznej
Wyznaczasz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A, B}\).
Następnie równanie prostej do niej prostopadłej przechodzącej przez \(\displaystyle{ A}\)
Później r wyznaczasz z odległości punktu od prostej na przykład
Następnie równanie prostej do niej prostopadłej przechodzącej przez \(\displaystyle{ A}\)
Później r wyznaczasz z odległości punktu od prostej na przykład
-
krantox
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 27 lis 2011, o 18:57
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
Rownanie okregu i stycznej
Można również za pomocą wzoru na odległość środka od prostej.
\(\displaystyle{ d(S;l)=r}\)
\(\displaystyle{ d(S;l)= \frac{|Ax+By+C|}{ \sqrt{A ^{2}+B ^{2} } }}\)
gdzie \(\displaystyle{ A,B,C}\) - współczynniki równania ogólnego prostej(styczna)
\(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\)
\(\displaystyle{ d(S;l)=r}\)
\(\displaystyle{ d(S;l)= \frac{|Ax+By+C|}{ \sqrt{A ^{2}+B ^{2} } }}\)
gdzie \(\displaystyle{ A,B,C}\) - współczynniki równania ogólnego prostej(styczna)
\(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\)
Rownanie okregu i stycznej
Do sprawdzenia :
\(\displaystyle{ A=(x_{1}, y_{1})}\) \(\displaystyle{ A=(-3,-3)}\)
\(\displaystyle{ B=(x_{2}, y_{2})}\) \(\displaystyle{ B=(5,5)}\)
\(\displaystyle{ S= ( \frac{ x_{1}+x_{2} } {2} , \frac{y_{1}+y_{2} }{2})}\)
\(\displaystyle{ S=( \frac{-3+5}{2}, \frac{-3+5}{2})}\)
\(\displaystyle{ S=( \frac{2}{2}, \frac{2}{2})}\)
\(\displaystyle{ S=(1,1)}\)
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}-3=a \cdot (-3)+b\\5=a \cdot 5+b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}-3=-3a+b \rightarrow b=-3+3a\\5=5a+b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}b=-3+3a\\5=5a+b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 5=5a-3+3a}\)
\(\displaystyle{ 5=8a-3}\)
\(\displaystyle{ 8a=5+3}\)
\(\displaystyle{ 8a=8 /:8}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ b=-3+3 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ b=-3+3}\)
\(\displaystyle{ b=0}\)
\(\displaystyle{ y=1x+0}\)
\(\displaystyle{ A=(-3,-3)}\)
\(\displaystyle{ y=-1x+b}\)
\(\displaystyle{ -3=-1 \cdot (-3)+b}\)
\(\displaystyle{ -3=3+b}\)
\(\displaystyle{ b=-3-3}\)
\(\displaystyle{ b=-6}\)
y=-1x-6
\(\displaystyle{ \left| AS\right|= \sqrt{(1+3)^2+(1+3)^2}= \sqrt{4^2+4^2}= \sqrt{16+16}= \sqrt{32}= \sqrt{2 \cdot 16}=4 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| AS\right|=r=4 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=(4 \sqrt{2})^2}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=16 \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=32}\)
Równanie okręgu: \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=32}\)
Równanie stycznej w punkcie A: \(\displaystyle{ y=-1x-6}\)
\(\displaystyle{ A=(x_{1}, y_{1})}\) \(\displaystyle{ A=(-3,-3)}\)
\(\displaystyle{ B=(x_{2}, y_{2})}\) \(\displaystyle{ B=(5,5)}\)
\(\displaystyle{ S= ( \frac{ x_{1}+x_{2} } {2} , \frac{y_{1}+y_{2} }{2})}\)
\(\displaystyle{ S=( \frac{-3+5}{2}, \frac{-3+5}{2})}\)
\(\displaystyle{ S=( \frac{2}{2}, \frac{2}{2})}\)
\(\displaystyle{ S=(1,1)}\)
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}-3=a \cdot (-3)+b\\5=a \cdot 5+b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}-3=-3a+b \rightarrow b=-3+3a\\5=5a+b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}b=-3+3a\\5=5a+b\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 5=5a-3+3a}\)
\(\displaystyle{ 5=8a-3}\)
\(\displaystyle{ 8a=5+3}\)
\(\displaystyle{ 8a=8 /:8}\)
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ b=-3+3 \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ b=-3+3}\)
\(\displaystyle{ b=0}\)
\(\displaystyle{ y=1x+0}\)
\(\displaystyle{ A=(-3,-3)}\)
\(\displaystyle{ y=-1x+b}\)
\(\displaystyle{ -3=-1 \cdot (-3)+b}\)
\(\displaystyle{ -3=3+b}\)
\(\displaystyle{ b=-3-3}\)
\(\displaystyle{ b=-6}\)
y=-1x-6
\(\displaystyle{ \left| AS\right|= \sqrt{(1+3)^2+(1+3)^2}= \sqrt{4^2+4^2}= \sqrt{16+16}= \sqrt{32}= \sqrt{2 \cdot 16}=4 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| AS\right|=r=4 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=(4 \sqrt{2})^2}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=16 \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=32}\)
Równanie okręgu: \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=32}\)
Równanie stycznej w punkcie A: \(\displaystyle{ y=-1x-6}\)