Dany jest okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^2-16x+y^2=0}\). Wykaż, że zbiór wszystkich środków cięciw tego okręgu poprowadzonych z początku układu współrzędnych jest okręgiem o środku \(\displaystyle{ S=(4,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=4}\).
Teza:
\(\displaystyle{ (x-4)^2+y^2=16}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax \\ x^2-16x+y^2=0 \end{cases} \\
x^2+a^2x^2-16x=0\\
x^2(1+a^2)-16x=0\\
x=0 \vee x= \frac{16}{1+a^2}}\)
Środek cięciwy to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{8}{1+a^2}\\y=ax\end{cases}}\)
Teraz nie wiem jak to przekształcić aby wykazać tezę zadania.
Proszę o pomoc.
Pozdr!
wykazanie że środki cięciw okręgu tworzą inny okrąg
wykazanie że środki cięciw okręgu tworzą inny okrąg
Nie tędy droga. Korzystasz z tego, co masz udowodnić. Zakładasz, że ten zbiór istotnie jest okręgiem. Nie tak. Z tego układu równań wyliczasz punkty wspólne z okręgiem i potem środek cięciwy. Potem poukładasz te współrzędne środka tak, aby zyskać równanie szukanego okręgu. A nawet tego nie trzeba: wyznacz odległość tego środka od punktu \(\displaystyle{ (4,0)}\).
[EDIT] Usunąłem błędnie napisane komentarze.
[EDIT] Usunąłem błędnie napisane komentarze.
Ostatnio zmieniony 18 lut 2013, o 19:14 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 118 razy
wykazanie że środki cięciw okręgu tworzą inny okrąg
chyba jednak wyjdzie okrąg:
muszę jedynie te ostatnie równania przekształcić do postaci (tak mi się przynajmniej wydaje)
\(\displaystyle{ (x-4)^2+y^2=16}\)
muszę jedynie te ostatnie równania przekształcić do postaci (tak mi się przynajmniej wydaje)
\(\displaystyle{ (x-4)^2+y^2=16}\)
wykazanie że środki cięciw okręgu tworzą inny okrąg
Bardzo sobie cenię to eksperymentalne podejście. Świetnie!!! Teraz wiesz co masz pokazać. Tak pracuje matematyk.
Mój błąd wziął się stąd, że na szybko namalowałem okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 4}\) i środku \(\displaystyle{ (4,4)}\). Właściwy okrąg ma środek \(\displaystyle{ (8,0)}\) i promień \(\displaystyle{ 8}\). Drugie równanie w układzie masz w porządku. Wszystkie cięciwy zaczynają się w \(\displaystyle{ (0,0)}\). Ale dalsza wskazówka pozostaje w mocy.
Żeby się nie myliło innym Czytelnikom, kasuję z wcześniejszych postów błędne komentarze.
Mój błąd wziął się stąd, że na szybko namalowałem okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 4}\) i środku \(\displaystyle{ (4,4)}\). Właściwy okrąg ma środek \(\displaystyle{ (8,0)}\) i promień \(\displaystyle{ 8}\). Drugie równanie w układzie masz w porządku. Wszystkie cięciwy zaczynają się w \(\displaystyle{ (0,0)}\). Ale dalsza wskazówka pozostaje w mocy.
Żeby się nie myliło innym Czytelnikom, kasuję z wcześniejszych postów błędne komentarze.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
wykazanie że środki cięciw okręgu tworzą inny okrąg
Geometria analityczna więcej w tym dowodzie przeszkadza niż pomaga. Niech \(\displaystyle{ o_1}\) to będzie wyjściowy okrąg, o środku \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ O}\) oznacza środek układu współrzędnych i niech \(\displaystyle{ X}\) będzie punktem różnym od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ O}\). Następujące warunki są równoważne:
1. \(\displaystyle{ X}\) leży na okręgu, którego średnicą jest \(\displaystyle{ OA}\),
2. kąt \(\displaystyle{ AXO}\) jest prosty,
3. \(\displaystyle{ X}\) jest środkiem pewnej cięciwy okręgu \(\displaystyle{ o_1}\), przechodzącej przez \(\displaystyle{ O}\).
Osobno możemy sprawdzić, że punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ O}\) należą do szukanego zbioru.
Zatem szukanym zbiorem jest okrąg o środku \(\displaystyle{ \frac{A+O}2}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{|AO|}2}\).
1. \(\displaystyle{ X}\) leży na okręgu, którego średnicą jest \(\displaystyle{ OA}\),
2. kąt \(\displaystyle{ AXO}\) jest prosty,
3. \(\displaystyle{ X}\) jest środkiem pewnej cięciwy okręgu \(\displaystyle{ o_1}\), przechodzącej przez \(\displaystyle{ O}\).
Osobno możemy sprawdzić, że punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ O}\) należą do szukanego zbioru.
Zatem szukanym zbiorem jest okrąg o środku \(\displaystyle{ \frac{A+O}2}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{|AO|}2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 118 razy
wykazanie że środki cięciw okręgu tworzą inny okrąg
@szw1710
czyli np za \(\displaystyle{ a}\) podstawiam 1 i wychodzi mi jakiś punkt \(\displaystyle{ P=(4,4)}\)
\(\displaystyle{ S= (4,0)}\)
Zatem \(\displaystyle{ |PS| = 4 = r}\)
Powoli zaczyna mi się wszystko mieszać.
czyli np za \(\displaystyle{ a}\) podstawiam 1 i wychodzi mi jakiś punkt \(\displaystyle{ P=(4,4)}\)
\(\displaystyle{ S= (4,0)}\)
Zatem \(\displaystyle{ |PS| = 4 = r}\)
Powoli zaczyna mi się wszystko mieszać.
wykazanie że środki cięciw okręgu tworzą inny okrąg
Nie.
Masz początkowy układ równań. Rozwiązanie będzie OK. Wyznacz środek cięciwy. Początek \(\displaystyle{ (0,0)}\), koniec to ten drugi punkt. Oblicz odległość tego środka od punktu \(\displaystyle{ (4,0)}\).
Masz początkowy układ równań. Rozwiązanie będzie OK. Wyznacz środek cięciwy. Początek \(\displaystyle{ (0,0)}\), koniec to ten drugi punkt. Oblicz odległość tego środka od punktu \(\displaystyle{ (4,0)}\).