wykazanie że środki cięciw okręgu tworzą inny okrąg

[unn4m3nd]

Dany jest okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^2-16x+y^2=0}\). Wykaż, że zbiór wszystkich środków cięciw tego okręgu poprowadzonych z początku układu współrzędnych jest okręgiem o środku \(\displaystyle{ S=(4,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=4}\).

Teza:
\(\displaystyle{ (x-4)^2+y^2=16}\)

Dowód:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax \\ x^2-16x+y^2=0 \end{cases} \\
x^2+a^2x^2-16x=0\\
x^2(1+a^2)-16x=0\\
x=0 \vee x= \frac{16}{1+a^2}}\)

Środek cięciwy to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{8}{1+a^2}\\y=ax\end{cases}}\)

Teraz nie wiem jak to przekształcić aby wykazać tezę zadania.
Proszę o pomoc.
Pozdr!

[szw1710]

Nie tędy droga. Korzystasz z tego, co masz udowodnić. Zakładasz, że ten zbiór istotnie jest okręgiem. Nie tak. Z tego układu równań wyliczasz punkty wspólne z okręgiem i potem środek cięciwy. Potem poukładasz te współrzędne środka tak, aby zyskać równanie szukanego okręgu. A nawet tego nie trzeba: wyznacz odległość tego środka od punktu \(\displaystyle{ (4,0)}\).

[EDIT] Usunąłem błędnie napisane komentarze.

[unn4m3nd]

chyba jednak wyjdzie okrąg:

muszę jedynie te ostatnie równania przekształcić do postaci (tak mi się przynajmniej wydaje)
\(\displaystyle{ (x-4)^2+y^2=16}\)

[szw1710]

Bardzo sobie cenię to eksperymentalne podejście. Świetnie!!! Teraz wiesz co masz pokazać. Tak pracuje matematyk.

Mój błąd wziął się stąd, że na szybko namalowałem okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 4}\) i środku \(\displaystyle{ (4,4)}\). Właściwy okrąg ma środek \(\displaystyle{ (8,0)}\) i promień \(\displaystyle{ 8}\). Drugie równanie w układzie masz w porządku. Wszystkie cięciwy zaczynają się w \(\displaystyle{ (0,0)}\). Ale dalsza wskazówka pozostaje w mocy.

Żeby się nie myliło innym Czytelnikom, kasuję z wcześniejszych postów błędne komentarze.

[norwimaj]

Geometria analityczna więcej w tym dowodzie przeszkadza niż pomaga. Niech \(\displaystyle{ o_1}\) to będzie wyjściowy okrąg, o środku \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ O}\) oznacza środek układu współrzędnych i niech \(\displaystyle{ X}\) będzie punktem różnym od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ O}\). Następujące warunki są równoważne:
1. \(\displaystyle{ X}\) leży na okręgu, którego średnicą jest \(\displaystyle{ OA}\),
2. kąt \(\displaystyle{ AXO}\) jest prosty,
3. \(\displaystyle{ X}\) jest środkiem pewnej cięciwy okręgu \(\displaystyle{ o_1}\), przechodzącej przez \(\displaystyle{ O}\).

Osobno możemy sprawdzić, że punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ O}\) należą do szukanego zbioru.

Zatem szukanym zbiorem jest okrąg o środku \(\displaystyle{ \frac{A+O}2}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{|AO|}2}\).

[unn4m3nd]

@szw1710
czyli np za \(\displaystyle{ a}\) podstawiam 1 i wychodzi mi jakiś punkt \(\displaystyle{ P=(4,4)}\)
\(\displaystyle{ S= (4,0)}\)
Zatem \(\displaystyle{ |PS| = 4 = r}\)

Powoli zaczyna mi się wszystko mieszać.

[szw1710]

Nie.

Masz początkowy układ równań. Rozwiązanie będzie OK. Wyznacz środek cięciwy. Początek \(\displaystyle{ (0,0)}\), koniec to ten drugi punkt. Oblicz odległość tego środka od punktu \(\displaystyle{ (4,0)}\).