Odległość punktu przecięcia się prostych od podprzestrzeni

[malaga_]

Proszę o pomoc w zadaniu :

Oblicz odległość punktu przecięcia się prostych
\(\displaystyle{ l _{1}: \begin{cases} x=1+2t \\y=-t\\z=4-3t \end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ l _{2}: \begin{cases} x=1+t \\y=-3+t\\z=3-t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ t \in R}\), od podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V \subset R ^{3}}\) rozpiętej przez wektory \(\displaystyle{ u _{1} =(1,0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ u _{2} =(2,1,0)}\).

Punkt przecięcia wyszedł mi \(\displaystyle{ P=(3,-1,1)}\). Mam pytanie, czy wektor normalny płaszczyzny wyznaczam z iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ u _{1}}\) i \(\displaystyle{ u _{2}}\)? Jeśli tak to wynosi on \(\displaystyle{ n=(-1,2,1)}\) i równanie płaszczyzny ma postać \(\displaystyle{ -x+2y+z=0}\) ? Czy do wzoru na odległość punktu od płaszczyzny mam przyjąć, że D=0 czy uznać za parametr lub wyliczyć je w jakiś inny sposób?

[norwimaj]

Mam pytanie, czy wektor normalny płaszczyzny wyznaczam z iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ u _{1}}\) i \(\displaystyle{ u _{2}}\)?

Wygląda na to, że właśnie w ten sposób to robisz.

Jeśli tak to wynosi on \(\displaystyle{ n=(-1,2,1)}\) i równanie płaszczyzny ma postać \(\displaystyle{ -x+2y+z=0}\) ?

Zgadza się.

Czy do wzoru na odległość punktu od płaszczyzny mam przyjąć, że D=0 czy uznać za parametr lub wyliczyć je w jakiś inny sposób?

Co to jest \(\displaystyle{ D}\)?

[malaga_]

\(\displaystyle{ D}\) z równania ogólnego płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) i wzoru na odległość punktu \(\displaystyle{ P(x,y)}\) od płaszczyzny
\(\displaystyle{ d(P, \pi )= \frac{|Ax+By+Cz+D|}{ \sqrt{A ^{2}+B ^{2}+C ^{2} } }}\)

[norwimaj]

równanie płaszczyzny ma postać \(\displaystyle{ -x+2y+z=0}\)

Czyli \(\displaystyle{ A=-1,B=2,C=1,D=0}\).