Równanie zbioru punktów

[goovie]

Z początku układu współrzędnych poprowadzono cięciwy okręgu \(\displaystyle{ x^{2} +y^{2} =2x}\). Wyznaczyć równanie zbioru wszystkich środków tych cięciw.

Zadanie wydaje się dość proste, aczkolwiek żadne podstawienia mi nie wychodzą. Mógłby ktoś zamieścić pełne rozwiązanie tego zadania?

Wiem, że ma wyjść \(\displaystyle{ x = x^{2} + y ^{2}}\).

[Qń]

Analitycznie można zrobić to tak: prosta zawierająca cięciwę to \(\displaystyle{ y=tx}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t}\) rzeczywistego. Łatwo stąd wyznaczyć wszystko zależnie od \(\displaystyle{ t}\) - końce cięciwy to \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)}\), a zatem środek cięciwy to \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{1+t^2}, \frac{t}{1+t^2}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) może być dowolną liczbą rzeczywistą. Przy odrobinie gimnastyki można sprawdzić, że to przedstawienie parametryczne istotnie wyznacza nam okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=x}\).

Efektowniejsze jest jednak rozwiązanie geometryczne: jednokładność o środku w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i skali \(\displaystyle{ k=\frac 12}\) przekształca nam koniec każdej żądanej cięciwy na środek takiej cięciwy. Tak więc zbiór końców cięciw ta jednokładność przekształca na zbiór środków cięciw. Ponieważ zbiorem końców cięciw jest wyjściowy okrąg (o środku \(\displaystyle{ (1,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\)), to zbiorem środków cięciw jest ten okrąg po przekształceniu przez jednokładność (czyli o środku w \(\displaystyle{ \left( \frac 12,0 \right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac 12}\)).

Q.

[goovie]

Skąd wzięło się \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)}\)?

Albo ok, już wiem . 1 minutka rachunkowania i rozumiem skąd się to wzięło .

Dzięki wielkie za pomoc.

Swoją drogą, czy rozwiązanie na 'pomyślenie', tj. od razu wypisanie równania (można to bardzo łatwo zauważyć) i podanie krótkiego uzasadnienia byłoby poprawne?

[Qń]

Z rozwiązania (przy ustalonym parametrze \(\displaystyle{ t}\)) układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2=2x\\ y=tx\end{cases}}\)

Q.