Znaleźć równanie płaszczyzny przecinającej płaszczyznę
\(\displaystyle{ \pi : 3x+2y-4z+5=0}\)
pod kątem \(\displaystyle{ \fra{\pi}{4}}\) i przechodzącą przez prostą
\(\displaystyle{ \frac{x-4}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-5}{6}}\)
Kompletnie nie mam pojęcia jak się za to zabrać
płaszczyzna pod kątem przez prostą
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
płaszczyzna pod kątem przez prostą
Płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) ma wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n}=[3,2,-4]}\), natomiast wektor równoległy do prostej to \(\displaystyle{ \vec{v}=[2,3,6]}\). Niech \(\displaystyle{ \vec{u}=[u_x,u_y,u_z]}\) będzie jednostkowym wektorem normalnym szukanej płaszczyzny, wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{u}=3u_x+2u_y-4u_z=|\vec{n}||\vec{u}|\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{29}}{2}\\\vec{v}\cdot\vec{u}=2u_x+3u_y+6u_z=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\frac{\pi}{2}=0\\u_x^2+u_y^2+u_z^2=1\end{cases}\\\\
\begin{cases}u_x=\frac{24}{5}u_z+\frac{3\sqrt{29}}{10}\\u_y=-\frac{26}{5}u_z-\frac{\sqrt{29}}{5}\\\left(\frac{24}{5}u_z+\frac{3\sqrt{29}}{10}\right)^2+\left(-\frac{26}{5}u_z-\frac{\sqrt{29}}{5}\right)^2+u_z^2=1\end{cases}}\)
Pozostaje wyliczyć \(\displaystyle{ u_z}\) i potem \(\displaystyle{ u_x,\,u_y}\). Szukana płaszczyzna ma równanie:
\(\displaystyle{ u_x(x-4)+u_y(y-1)+u_z(z-5)=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{u}=3u_x+2u_y-4u_z=|\vec{n}||\vec{u}|\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{29}}{2}\\\vec{v}\cdot\vec{u}=2u_x+3u_y+6u_z=|\vec{v}||\vec{u}|\cos\frac{\pi}{2}=0\\u_x^2+u_y^2+u_z^2=1\end{cases}\\\\
\begin{cases}u_x=\frac{24}{5}u_z+\frac{3\sqrt{29}}{10}\\u_y=-\frac{26}{5}u_z-\frac{\sqrt{29}}{5}\\\left(\frac{24}{5}u_z+\frac{3\sqrt{29}}{10}\right)^2+\left(-\frac{26}{5}u_z-\frac{\sqrt{29}}{5}\right)^2+u_z^2=1\end{cases}}\)
Pozostaje wyliczyć \(\displaystyle{ u_z}\) i potem \(\displaystyle{ u_x,\,u_y}\). Szukana płaszczyzna ma równanie:
\(\displaystyle{ u_x(x-4)+u_y(y-1)+u_z(z-5)=0}\)