Na płaszczyźnie H znaleźć pkt najbliżej położony

kubag00 · Post autor: **kubag00** » 12 lut 2013, o 21:19

Na płaszczyźnie \(\displaystyle{ H: 3x-y+5z-10=0}\) znaleźć punkt położony najbliżej początku układu współrzędnych. Czy mógłby ktoś powiedzieć jak się zabrać za to zadanie?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 12 lut 2013, o 21:46

Niech \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) będą współrzędnymi szukanego punktu. Skoro leży on na danej płaszczyźnie, to \(\displaystyle{ y=3x+5z-10}\), tj. \(\displaystyle{ (x,y,z)=(x,3x+5z-10,z)}\).

Rozważmy funkcję kwadratu odległości szukanego punktu od początku układu współrzędnych:

\(\displaystyle{ f(x,z)=x^2+(3x+5z-10)^2+z^2=10x^2+26z^2+30xz-60x-100z+100}\) dla \(\displaystyle{ (x,z)\in\RR\times\RR}\).

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \RR\times\RR}\) jest otwarty, to najmniejsza wartość funkcji (która na pewno istnieje i jest nieujemna) jest osiągana w punkcie stacjonarnym. Wystarczy zatem wyznaczyć współrzędne wszystkich takich punktów i wybrać ten, w którym wartość funkcji jest najmniejsza.

kubag00 · Post autor: **kubag00** » 13 lut 2013, o 19:07

wiec liczę pochodne cząstkowe po \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\) ;
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial z}(x,z)=-100 + 30x + 52z}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x,z)=20x+30z-60}\)
czy dobrze?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 13 lut 2013, o 20:15

To jest dobrze. Teraz kolej na wyznaczenie punktów stacjonarnych.