Na płaszczyźnie H znaleźć pkt najbliżej położony
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 16 gru 2012, o 23:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 8 razy
Na płaszczyźnie H znaleźć pkt najbliżej położony
Na płaszczyźnie \(\displaystyle{ H: 3x-y+5z-10=0}\) znaleźć punkt położony najbliżej początku układu współrzędnych. Czy mógłby ktoś powiedzieć jak się zabrać za to zadanie?
Ostatnio zmieniony 12 lut 2013, o 21:49 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Na płaszczyźnie H znaleźć pkt najbliżej położony
Niech \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) będą współrzędnymi szukanego punktu. Skoro leży on na danej płaszczyźnie, to \(\displaystyle{ y=3x+5z-10}\), tj. \(\displaystyle{ (x,y,z)=(x,3x+5z-10,z)}\).
Rozważmy funkcję kwadratu odległości szukanego punktu od początku układu współrzędnych:
Rozważmy funkcję kwadratu odległości szukanego punktu od początku układu współrzędnych:
\(\displaystyle{ f(x,z)=x^2+(3x+5z-10)^2+z^2=10x^2+26z^2+30xz-60x-100z+100}\) dla \(\displaystyle{ (x,z)\in\RR\times\RR}\).
Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \RR\times\RR}\) jest otwarty, to najmniejsza wartość funkcji (która na pewno istnieje i jest nieujemna) jest osiągana w punkcie stacjonarnym. Wystarczy zatem wyznaczyć współrzędne wszystkich takich punktów i wybrać ten, w którym wartość funkcji jest najmniejsza.-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 16 gru 2012, o 23:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 8 razy
Na płaszczyźnie H znaleźć pkt najbliżej położony
wiec liczę pochodne cząstkowe po \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\) ;
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial z}(x,z)=-100 + 30x + 52z}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x,z)=20x+30z-60}\)
czy dobrze?
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial z}(x,z)=-100 + 30x + 52z}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x,z)=20x+30z-60}\)
czy dobrze?
Ostatnio zmieniony 13 lut 2013, o 20:14 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] . Poprawa wiadomości.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Na płaszczyźnie H znaleźć pkt najbliżej położony
To jest dobrze. Teraz kolej na wyznaczenie punktów stacjonarnych.