Na prostej L znaleść pkt najbliżej początku układu współrzęd

kubag00 · Post autor: **kubag00** » 12 lut 2013, o 20:29

Na prostej L \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=2+3t \\y=-12+t \\ z=4-2t \end{array}}\) znaleść punkt najbliżej początku układu współrzędnych. proszę o pomoc w rozwiązaniu.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 12 lut 2013, o 20:31

Punkt na tej prostej odległy jest od początku układu współrzędnych o

\(\displaystyle{ d(t)=\sqrt{(2+3t)^2+(-12+t)^2+(4-2t)^2}}\)

wystarczy więc znaleźć minimum tej funkcji.

kubag00 · Post autor: **kubag00** » 12 lut 2013, o 20:34

Jak dokładniej znaleść to minimum w tym przykładzie?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 10:54

Pierwiastek jest funkcją monotoniczną, zatem wystarczy szukać minimum funkcji pod pierwiastkiem, a to jest wielomian stopnia drugiego. Czyli albo wierzchołek albo pochodna.

kubag00 · Post autor: **kubag00** » 13 lut 2013, o 18:47

zatem otrzymuję równanie \(\displaystyle{ \sqrt{164 -28t+14t ^{2} }}\) delta wychodzi ujemna więc muszę liczyć pochodną?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 18:51

Wychodzi

\(\displaystyle{ \sqrt{14t^2-28t+164}}\)

Pytanie: dlaczego jak delta wychodzi ujemna to chcesz przechodzić na pochodną? Co znak delty ma wspólnego z wierzchołkiem paraboli?

kubag00 · Post autor: **kubag00** » 13 lut 2013, o 18:59

więc W(p,q) i podstawiam pod wzory na p=\(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}}\) i q=\(\displaystyle{ \frac{-\Delta}{4a}}\), bo nie wiem jak dokładnie to zrobić w tej sytuacji.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 19:09

Szukasz tylko i wyłącznie wartości \(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}}\) jako argumentu, w którym parabola ma wierzchołek. Nie trzeba żadnej delty liczyć.

kubag00 · Post autor: **kubag00** » 13 lut 2013, o 19:16

czyli ostatecznym wynikiem jest 1?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 13 lut 2013, o 19:21

Tak, \(\displaystyle{ t=1}\). Ale to nie jest treść zadania. Szukasz punktu w \(\displaystyle{ \RR^3}\) na prostej.