Witam
Na boku BC trójkąta ABC obrano punkt D, taki że \(\displaystyle{ \frac{|\vec{BD}|}{|\vec{DC}|}=\frac{a}{b}gdzie a, b \in R^+}\)
Wykaż, że\(\displaystyle{ \vec{AD} = \frac{1}{a+b}(a \cdot \vec{AC} + b\cdot \vec{AB} )}\)
I we wskazówkach jest: \(\displaystyle{ \vec{DC}=\frac{b}{a}\cdot \vec{BD}}\)
Wskazówka jest dla mnie jasna z jednym ale. Widzę, że wskazówka jest przekształceniem założenia, ale dlaczego we wskazówce nagle znika symbol określający długość wektora? Siadając do tego dowodu właśnie ten problem było dla mnie to, i zastanawiałem się jak połączyć wektor i długość wektora.
Wektory \(\displaystyle{ \vec{BD}, \vec{DC}}\) mają wspólny kierunek i ten sam zwrot, więc warunek \(\displaystyle{ |\vec{DC}|=\frac{b}{a}\cdot |\vec{BD}|}\) implikuje równość \(\displaystyle{ \vec{DC}=\frac{b}{a}\cdot \vec{BD}}\).
Dalej zauważ, że \(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD} \\ \vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC} \end{cases}}\). Stąd i z powyższej wskazówki dostajemy łatwo \(\displaystyle{ \begin{cases} \vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD} \\ \vec{AD}=\vec{AC}-\frac{b}{a}\vec{BD} \end{cases}}\). Pomnóż pierwsze równanie stronami przez \(\displaystyle{ b}\), a drugie stronami przez \(\displaystyle{ a}\) i dodaj stronami otrzymane równania.
