Witam!
Nie mam pojecia jak w ogóle ruszyć takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \vec{a} = \vec{p} + \vec{q} ; \vec{b} = \vec{p} - \vec{q}}\). Uzasadnij, że podwojona suma kwadratów długości wektorów \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\) jest równa sumie kwadratów długości wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\).
Gdzie moge poczytać o zastosowaniu wektorów oraz ich własnościach (warunki równoległości, prostopadłości, zastosowanie iloczynu skalarnego) żeby przydało mi się to na maturę rozszerzoną? W podręcznikach Pazdry tego nie ma ;/
Dowody i wektory
-
- Użytkownik
- Posty: 186
- Rejestracja: 27 sty 2009, o 19:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
Dowody i wektory
To tzw. reguła równoległoboku. Narysuj wektory \(\displaystyle{ \vec{p}, \vec{q}}\), a następnie \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\). W równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości boków. O to tutaj chodzi. W dowodzie użyj twierdzenia cosinusów do odpowiednio dobranych trójkątów.
To jeszcze wskazówka. Które wektory są przekątnymi równoległoboku?
To jeszcze wskazówka. Które wektory są przekątnymi równoległoboku?
-
- Użytkownik
- Posty: 186
- Rejestracja: 27 sty 2009, o 19:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
Dowody i wektory
Czyli wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\) to przekatne równoległoboku prawda?
zapisałem rowność, ale nie jestem pewny czy mogę tak to zapisac w kestii formalnej:
\(\displaystyle{ 2\left( p ^{2} +q ^{2} \right) =a ^{2} + b ^{2}}\)
dalej zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ a ^{2} = p^{2} + q ^{2} - 2pqcos \alpha}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} = p^{2} + q ^{2} - 2pqcos \beta}\)
Po wstawieniu i zredukowaniu do pierwszego równania otrzymałem równość:
\(\displaystyle{ -2pq\left( cos \alpha + cos \beta \right) = 0}\)
Jak wytłumaczyć, ze suma \(\displaystyle{ cosinusów}\) jest równa zero i czy oznaczenia wprowadzone przez mnie są dobre?
zapisałem rowność, ale nie jestem pewny czy mogę tak to zapisac w kestii formalnej:
\(\displaystyle{ 2\left( p ^{2} +q ^{2} \right) =a ^{2} + b ^{2}}\)
dalej zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ a ^{2} = p^{2} + q ^{2} - 2pqcos \alpha}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} = p^{2} + q ^{2} - 2pqcos \beta}\)
Po wstawieniu i zredukowaniu do pierwszego równania otrzymałem równość:
\(\displaystyle{ -2pq\left( cos \alpha + cos \beta \right) = 0}\)
Jak wytłumaczyć, ze suma \(\displaystyle{ cosinusów}\) jest równa zero i czy oznaczenia wprowadzone przez mnie są dobre?
Dowody i wektory
A jakie są w stosunku do siebie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)? Skorzystaj z tego faktu.
-
- Użytkownik
- Posty: 186
- Rejestracja: 27 sty 2009, o 19:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 6 razy
Dowody i wektory
Odwrotne? Serio nie wiem, ; /
Wiem, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta =180}\)
Czy oznaczenia są dobre?
Wiem, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta =180}\)
Czy oznaczenia są dobre?
Dowody i wektory
Tak. O to właśnie chodzi. Więc \(\displaystyle{ \beta=180^{\circ}-\alpha}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ \cos(180^{\circ}-\alpha)}\)?