Dowody i wektory

[kubajunior]

Witam!
Nie mam pojecia jak w ogóle ruszyć takie zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \vec{a} = \vec{p} + \vec{q} ; \vec{b} = \vec{p} - \vec{q}}\). Uzasadnij, że podwojona suma kwadratów długości wektorów \(\displaystyle{ \vec{p}}\) i \(\displaystyle{ \vec{q}}\) jest równa sumie kwadratów długości wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\).

Gdzie moge poczytać o zastosowaniu wektorów oraz ich własnościach (warunki równoległości, prostopadłości, zastosowanie iloczynu skalarnego) żeby przydało mi się to na maturę rozszerzoną? W podręcznikach Pazdry tego nie ma ;/

[szw1710]

To tzw. reguła równoległoboku. Narysuj wektory \(\displaystyle{ \vec{p}, \vec{q}}\), a następnie \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\). W równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości boków. O to tutaj chodzi. W dowodzie użyj twierdzenia cosinusów do odpowiednio dobranych trójkątów.

To jeszcze wskazówka. Które wektory są przekątnymi równoległoboku?

[kubajunior]

Czyli wektory \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b}}\) to przekatne równoległoboku prawda?

zapisałem rowność, ale nie jestem pewny czy mogę tak to zapisac w kestii formalnej:
\(\displaystyle{ 2\left( p ^{2} +q ^{2} \right) =a ^{2} + b ^{2}}\)

dalej zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ a ^{2} = p^{2} + q ^{2} - 2pqcos \alpha}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} = p^{2} + q ^{2} - 2pqcos \beta}\)

Po wstawieniu i zredukowaniu do pierwszego równania otrzymałem równość:
\(\displaystyle{ -2pq\left( cos \alpha + cos \beta \right) = 0}\)

Jak wytłumaczyć, ze suma \(\displaystyle{ cosinusów}\) jest równa zero i czy oznaczenia wprowadzone przez mnie są dobre?

[szw1710]

A jakie są w stosunku do siebie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)? Skorzystaj z tego faktu.

[kubajunior]

Odwrotne? Serio nie wiem, ; /
Wiem, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta =180}\)

Czy oznaczenia są dobre?

[szw1710]

Tak. O to właśnie chodzi. Więc \(\displaystyle{ \beta=180^{\circ}-\alpha}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ \cos(180^{\circ}-\alpha)}\)?