Środkowe trójkąta. Znajdź punkty.

[Math_s]

W trójkącie ABC dany jest punkt A(-3,-2) oraz równania środkowych y=5x-1, y= 0,25x-0,75. Oblicz współrzędne punktów B i C.

Wektorami?-- 8 lut 2013, o 19:40 --PLS pomocy

[bb314]

Środkowa jest prostopadła do boku (np. AB) i przechodzi przez jego środek. Więc B leży po drugiej stronie środkowej w takiej samej odległości od niej co A. Ja wyznaczyłabym równanie prostej prostopadłej do środkowej, przechodzące przez A, obliczyła odległość A od środkowej i w takiej samej odległości od środkowej znalazłabym B należące do prostej prostopadłej.
Podobnie z drugą środkową i wierzchołkiem C.

[Math_s]

Ale moment dlaczego środkowa jest prostopadła? A nie symetralna jest prostopadła? Bo środkowa dzieli przecież bok na pół, ale wychodzi z wierzchołka "na przeciwko", wg mnie nie musi iść pod kątem prostym. Tak?

[bb314]

Sooooooooooooooooory.
Pozajączkowało mi się. Napisane jest „środkowe”, a ja cały czas widziałam „symetralne”.

[Math_s]

Każdemu się zdarza, masz jakiś pomysł, bo ja tak kombinuję ze wzoru na środek odcinka, to na środek ciężkości trójkąta, ale w tym z kolei zastanawia mnie skąd się wzięło, że \(\displaystyle{ S(x,y)= \frac{a+b+c}{3}, \frac{d+e+f}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ A(a,d), B(b,e), C(c,f)}\)
Help

[anna_]

Skorzystaj z tego, że środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dzieli on każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.

[Math_s]

tak też to wiem i próbowałam wektorami, tyle, że policzyłam punkt na odcinku AC i co dalej...

[norwimaj]

ale w tym z kolei zastanawia mnie skąd się wzięło, że \(\displaystyle{ S(x,y)= \frac{a+b+c}{3}, \frac{d+e+f}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ A(a,d), B(b,e), C(c,f)}\)

Wzór ten można wyprowadzić korzystając ze wzoru na podział odcinka w danym stosunku.

Gdy już ten wzór mamy, to możemy napisać układ równań. (stosuję wygodniejsze dla mnie oznaczenia)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
y_B=5x_B-1\\
y_C=0{,}25x_C-0{,}75\\
\frac13(y_A+y_B+y_C)=5\cdot\frac13(x_A+x_B+x_C)-1\\
\frac13(y_A+y_B+y_C)=0{,}25\cdot\frac13(x_A+x_B+x_C)-0{,}75
\end{cases}}\)

Ostatnie dwa równania mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ 3}\). Następnie od trzeciego równania odejmujemy pierwsze i od czwartego drugie. Wtedy równanie drugie i trzecie pozwala wyliczyć punkt \(\displaystyle{ C}\), a pozostałe dwa punkt \(\displaystyle{ B}\)

Co prawda anna_ zaproponowała bardziej geometryczne rozwiązanie, ale pod względem ilości rachunków to chyba nie jest bardziej pracochłonne.

[Math_s]

Ok,dzięki tyle, że jakie jest to rozwiązanie z wektorami, o którym wspomniała anna_ ? . .

[norwimaj]

Zrób rysunek tego trójkąta i jego środkowych. Następnie odbij rysunek symetrycznie względem punktu przecięcia boku \(\displaystyle{ BC}\) ze środkową opuszczoną z punktu \(\displaystyle{ A}\). Wtedy punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżą na przecięciach środkowych i ich obrazów w symetrii.

[Math_s]

Ahaa,dzięki za pomoc prawie dochodzę do ładu z tym wzorem na środek odcinka, ale tymi Waszymi metodami będzie pewniej. Dziękuję

[anna_]

1. Policz współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\) przecięcia się danych środkowych (to jednocześnie punkt przecięcią środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\))
2. Równanie środkowej z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\)
3. Współrzędne środka odcinka \(\displaystyle{ BC}\)
4. Wspólrzedne wierzchołków \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\)

[Math_s]

ja w sumie zrobiłam tak, że ze wzoru na środek odcinka mam 4 układy równan dwa na x dwa na y i cos tam wychodzi, dodatkowo wychodza mi jeszcze punkty przeciecia z bokami, ale nie mam do tego odp, po przeliczeniu jak mowicie na pewno bd wiedziec czy mam dobry wynik.