Witam
Mam takie zadanko: Sprawdzic, ze trojkąt o wierzchołkach A,B,C gdzie a(2,15,6), B(1,2,-3), C(3,-3,4) jest prostokątny. Znaleźć jego pole oraz pozostałe kąty.
Sprawa wygląda tak, ze jestem kompletnie zielony w tematyce tego zadania i prosiłbym o jakiś link do materiałów, które pomogą mi nauczyć się wykonywac tego typu zadania. Genialny byłby filmik na youtube czy innej platformie o ile taki istnieje(ja nie znalazłem), ale pisemny przyklad z wytłumaczeniem też będzie świetny Z góry dziękuję za pomoc
Wierzchołki trojkąta o 3 parametrach, jego pole i kąty
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Wierzchołki trojkąta o 3 parametrach, jego pole i kąty
Wyobraź sobie jak to jest na płaszczyźnie. Ustawiasz długości boków trójkąta w ciąg słabo rosnący czyli \(\displaystyle{ a \le b \le c}\) i jeżeli równość \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\) jest prawdziwa, to mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym.
To dlaczego z tego nie skorzystać w przestrzeni trójwymiarowej? Wzór na długość odcinka \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) jest następujący:
\(\displaystyle{ \left| AB\right| = \sqrt{\left( x_B - x_A\right)^2+ \left( y_B - y_A\right)^2+ \left( z_B - z_A\right)^2 }}\)
Zatem wykorzystajmy tą wiedzę.
\(\displaystyle{ A=\left( 2,15,6\right) ,B=\left( 1,2,-3\right) , C=\left( 3,-3,4\right) \\
\left|AB\right|=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(2-15\right)^2+\left(-3-6\right)^2}=\sqrt{251}\\
\left|AC\right|=\sqrt{\left(3-2\right)^2+\left(-3-15\right)^2+\left(4-6\right)^2}=\sqrt{329}\\
\left|BC\right|=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(-3-2\right)^2+\left(4+3\right)^2}=\sqrt{78}\\
\left|BC\right| \le \left|AB\right| \le \left|AC\right|\\
\left|BC\right|^2+\left|AB\right|^2=\left|AC\right|^2\\
\left(\sqrt{78}\right)^2+\left(\sqrt{251}\right)^2=\left(\sqrt{329}\right)^2\\
78+251=329\\
329=329}\)
Czyli trójkąt ten jest prostokątny. Co więcej wiemy, które boki możemy użyć do wzoru na pole trójkąta używanego na płaszczyźnie: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} ah}\).
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{78} \cdot \sqrt{251}=\frac{1}{2} \sqrt{19578}}\)
Kąty możemy teraz obliczyć za pomocą trygonometrii, czyli zwykłego sinusa. Niech kąty przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A,B,C}\) nazywają się odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha , \beta ,\gamma}\). Kąt \(\displaystyle{ \beta =90^\circ}\), to:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{78} }{ \sqrt{329} }=0,4869\\
\alpha =29^\circ\\
\sin \gamma= \frac{ \sqrt{251} }{ \sqrt{329} }=0,8735\\
\gamma=61^\circ}\)
To dlaczego z tego nie skorzystać w przestrzeni trójwymiarowej? Wzór na długość odcinka \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) jest następujący:
\(\displaystyle{ \left| AB\right| = \sqrt{\left( x_B - x_A\right)^2+ \left( y_B - y_A\right)^2+ \left( z_B - z_A\right)^2 }}\)
Zatem wykorzystajmy tą wiedzę.
\(\displaystyle{ A=\left( 2,15,6\right) ,B=\left( 1,2,-3\right) , C=\left( 3,-3,4\right) \\
\left|AB\right|=\sqrt{\left(1-2\right)^2+\left(2-15\right)^2+\left(-3-6\right)^2}=\sqrt{251}\\
\left|AC\right|=\sqrt{\left(3-2\right)^2+\left(-3-15\right)^2+\left(4-6\right)^2}=\sqrt{329}\\
\left|BC\right|=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(-3-2\right)^2+\left(4+3\right)^2}=\sqrt{78}\\
\left|BC\right| \le \left|AB\right| \le \left|AC\right|\\
\left|BC\right|^2+\left|AB\right|^2=\left|AC\right|^2\\
\left(\sqrt{78}\right)^2+\left(\sqrt{251}\right)^2=\left(\sqrt{329}\right)^2\\
78+251=329\\
329=329}\)
Czyli trójkąt ten jest prostokątny. Co więcej wiemy, które boki możemy użyć do wzoru na pole trójkąta używanego na płaszczyźnie: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} ah}\).
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{78} \cdot \sqrt{251}=\frac{1}{2} \sqrt{19578}}\)
Kąty możemy teraz obliczyć za pomocą trygonometrii, czyli zwykłego sinusa. Niech kąty przy wierzchołkach \(\displaystyle{ A,B,C}\) nazywają się odpowiednio \(\displaystyle{ \alpha , \beta ,\gamma}\). Kąt \(\displaystyle{ \beta =90^\circ}\), to:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{78} }{ \sqrt{329} }=0,4869\\
\alpha =29^\circ\\
\sin \gamma= \frac{ \sqrt{251} }{ \sqrt{329} }=0,8735\\
\gamma=61^\circ}\)