Nierówność z parametrem (część wspólna kół)
Nierówność z parametrem (część wspólna kół)
Dla jakich wartości parametru k częścią wspólną kół opisanych nierównościami \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-3)^2 \le 25}\), \(\displaystyle{ (x-7)^2+y^2 \le 22}\) i \(\displaystyle{ (x-2k-4)^2+(y-4k-1)^2 \le 1}\) jest koło?
-
kristoffwp
- Użytkownik
- Posty: 688
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko - Biała
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 88 razy
Nierówność z parametrem (część wspólna kół)
Ładne.
Koło, którego równanie zależy od parametru, musi leżeć wewnątrz obu danych kół (lub być wewnętrznie styczne)
Koło, którego równanie zależy od parametru, musi leżeć wewnątrz obu danych kół (lub być wewnętrznie styczne)
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Nierówność z parametrem (część wspólna kół)
Mamy trzy koła o promieniach \(\displaystyle{ 5,\ \sqrt{22},\ 1}\) i środkach w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ (1,3),\ (7,0),\ (2k+4,4k+1)}\)
to najmniejsze koło musi być jednocześnie wewnątrz jednego i drugiego koła większego
koło jest wewnątrz drugiego koła, gdy odległość ich środków powiększona o promień mniejszego koła jest mniejsza od promienia większego koła
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{\left( 1-(2k+4)\right)^2+\left( 3-(4k+1)\right)^2}+1 \le 5 \\ \sqrt{\left( 7-(2k+4)\right)^2+\left( 0-(4k+1)\right)^2}+1 \le \sqrt{22} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{\left( 1-(2k+4)\right)^2+\left( 3-(4k+1)\right)^2}\le 4 \\ \sqrt{\left( 7-(2k+4)\right)^2+\left( 0-(4k+1)\right)^2} \le \sqrt{22}-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( 1-(2k+4)\right)^2+\left( 3-(4k+1)\right)^2\le 4^2 \\ \left( 7-(2k+4)\right)^2+\left( 0-(4k+1)\right)^2 \le \left( \sqrt{22}-1\right)^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( -3-2k\right)^2+\left( 2-4k\right)^2\le 16 \\ \left( 3-2k\right)^2+\left( 4k+1\right)^2 \le \left( \sqrt{22}\right)^2-2\sqrt{22}+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 9+12k+4k^2+4-16k+16k^2\le 16 \\ 9-12k+4k^2+16k^2+8k+1 \le 22-2\sqrt{22}+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 20k^2-4k+13\le 16 \\ 20k^2-4k+10\le 23-2\sqrt{22} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 20k^2-4k-3\le 0 \\ 20k^2-4k-13+2\sqrt{22}\le 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{3}{10} \le k \le \frac12 \\ \frac{1-\sqrt{66-10\sqrt{22}}}{10} \le k \le \frac{1+\sqrt{66-10\sqrt{22}}}{10}\ \ \ \to\ \ \ \approx -0,337 \le k \le \ \approx 0,537 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \red -0,3 \le k \le 0,5}\)
to najmniejsze koło musi być jednocześnie wewnątrz jednego i drugiego koła większego
koło jest wewnątrz drugiego koła, gdy odległość ich środków powiększona o promień mniejszego koła jest mniejsza od promienia większego koła
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{\left( 1-(2k+4)\right)^2+\left( 3-(4k+1)\right)^2}+1 \le 5 \\ \sqrt{\left( 7-(2k+4)\right)^2+\left( 0-(4k+1)\right)^2}+1 \le \sqrt{22} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{\left( 1-(2k+4)\right)^2+\left( 3-(4k+1)\right)^2}\le 4 \\ \sqrt{\left( 7-(2k+4)\right)^2+\left( 0-(4k+1)\right)^2} \le \sqrt{22}-1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( 1-(2k+4)\right)^2+\left( 3-(4k+1)\right)^2\le 4^2 \\ \left( 7-(2k+4)\right)^2+\left( 0-(4k+1)\right)^2 \le \left( \sqrt{22}-1\right)^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( -3-2k\right)^2+\left( 2-4k\right)^2\le 16 \\ \left( 3-2k\right)^2+\left( 4k+1\right)^2 \le \left( \sqrt{22}\right)^2-2\sqrt{22}+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 9+12k+4k^2+4-16k+16k^2\le 16 \\ 9-12k+4k^2+16k^2+8k+1 \le 22-2\sqrt{22}+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 20k^2-4k+13\le 16 \\ 20k^2-4k+10\le 23-2\sqrt{22} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 20k^2-4k-3\le 0 \\ 20k^2-4k-13+2\sqrt{22}\le 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -\frac{3}{10} \le k \le \frac12 \\ \frac{1-\sqrt{66-10\sqrt{22}}}{10} \le k \le \frac{1+\sqrt{66-10\sqrt{22}}}{10}\ \ \ \to\ \ \ \approx -0,337 \le k \le \ \approx 0,537 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \red -0,3 \le k \le 0,5}\)