Zbadac położenie dwóch prostych

[enader]

Zadanie jest takie: Zbadać położenie dwóch prostych w zależności od parametru m:
\(\displaystyle{ K:\begin{cases} x=1+mt\\ y=1+t \\z = 1+mt \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ L:\begin{cases} x=s\\ y=ms \\z = s \end{cases}}\)

na początku badam dla jakich m proste są równoległe, tworze wektory kierunkowe WK =[m,1,m]
WL=[1,m,1] z tego wynika, że dla m=1 i dla m=-1 , wektory są równoległe

dalej badam położenie dla m \(\displaystyle{ \neq}\) -1 i 1
Przyrównuje obydwie proste odpowiednimi równaniami i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} s=1+mt \\ 1+t=ms\end{cases}}\)
co dalej daje mi \(\displaystyle{ t= \frac{-1}{m+1}}\)

Dalej nie mam pojęcia jak to ugryź, proszę o pomoc w wytłumaczenie kiedy proste będą skośne a kiedy będą się przecinały


edit: właśnie wpadłem na pomysł żeby ten układ policzyć z Kronecerra-Capelliego, zobaczymy co mi z tego wyjdzie

edit2: skorzystałem z powyższego twierdzenia, wyszło r(a)=r(u)=2=n dlatego układ ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie

I odpowiedź: Dla m=1 i m=-1, proste są równoległe, dla każdej innej wartości m proste przecinają się w jednym punkcie.

Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem zadanie? Z góry wielkie dzięki.

[octahedron]

Można też policzyć odległość prostych, wyjdzie, czy są skośne, czy też się przecinają:

\(\displaystyle{ P_K=(1,1,1),\,P_L=(0,0,0)\\\\
d(K,L)=\frac{|(\vec{w}_L\times\vec{w}_K)\cdot\vec{P_KP_L}|}{|\vec{w}_L\times\vec{w}_K|}}\)