wzory na obrót
-
Ewa 20
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 18 lut 2007, o 12:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Ozimek
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 12 razy
wzory na obrót
Względem środka układu O na płaszczyźnie robi się to tak:
Oznaczmy punkt przez P=(x,y), a jego obraz po obrocie przez P'=(x',y') oraz odległość OP=OP'=r.
Prowadzimy półproste wychodzące z początku układu współrzędnych przechodzące odpowiednio przez punkty P i P'. Oznaczmy przez β kąt nachylenia półprostej OP, oraz α-kąt nachylenia półprostej OP' do prostej OP. Z własności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\cos\beta\\y=r\sin\beta\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=r\cos(\beta+\alpha)\\y'=r\sin(\beta+\alpha)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\y=r(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\end{cases}}\)
Stąd już mamy szukane wzory:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=x\cos\alpha-z\sin\alpha\\y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{cases}}\).
W podobny sposób można wyprowadzić wzory na obrót wokół dowolnego punktu na płaszczyźnie oraz w przestrzeni trójwymiarowej.
Oznaczmy punkt przez P=(x,y), a jego obraz po obrocie przez P'=(x',y') oraz odległość OP=OP'=r.
Prowadzimy półproste wychodzące z początku układu współrzędnych przechodzące odpowiednio przez punkty P i P'. Oznaczmy przez β kąt nachylenia półprostej OP, oraz α-kąt nachylenia półprostej OP' do prostej OP. Z własności trygonometrycznych trójkąta prostokątnego mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r\cos\beta\\y=r\sin\beta\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=r\cos(\beta+\alpha)\\y'=r\sin(\beta+\alpha)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\y=r(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\end{cases}}\)
Stąd już mamy szukane wzory:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=x\cos\alpha-z\sin\alpha\\y'=x\sin\alpha+y\cos\alpha\end{cases}}\).
W podobny sposób można wyprowadzić wzory na obrót wokół dowolnego punktu na płaszczyźnie oraz w przestrzeni trójwymiarowej.
