Postać kanoniczna równania

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Catiga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Postać kanoniczna równania

Post autor: Catiga »

Witam
Na egzaminie z matematyki (I sem) przyszło mi się zmierzyć z zadaniem:
Równanie:\(\displaystyle{ 2 x^{2} - 10xy + 2 y^{2}= 21}\) zamień na postać kanoniczną.
Niestety nie mam bladego pojęcia jak się za to zabrać. Dziękuję za jakąkolwiek pomoc
Awatar użytkownika
ben2109
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 1 lis 2012, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5 razy

Postać kanoniczna równania

Post autor: ben2109 »

Poszukajmy deltę tego równania, czyli pod \(\displaystyle{ y}\) podstawiamy najpierw \(\displaystyle{ 0}\).
Otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2x^{2}=21 \Rightarrow 2x^{2}-21=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = b^{2} - 4ac \Rightarrow 0-4 \cdot 2 \cdot (-21)=168}\)

Teraz wzory na współrzędne wierzchołka paraboli :

\(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}}\)

\(\displaystyle{ q= \frac{-\Delta }{4a}}\)

\(\displaystyle{ p= 0 \wedge q=21}\)

Postać kanoniczna ma zatem wzór : \(\displaystyle{ y=2 x^{2}+21}\)
Catiga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2012, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Postać kanoniczna równania

Post autor: Catiga »

eeeee to jest na 100% błędne rozwiązanie. Już prędzej widziałbym tu przekształcenie ortogonalne z macierzy diagonalnej.-- 4 lut 2013, o 20:40 --Rozwiązałem zadanie i dzielę się nim:

Musimy ułożyć macierz formy, ogólny wzór pozwalający na ułożenie tej macierzy jest w postaci:
\(\displaystyle{ a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2dxy+2exz+2fyz}\)

gdzie: \(\displaystyle{ x; y; z}\) to nasze zmiennie z równania
\(\displaystyle{ a; b; c; d; e; f}\) to współczynniki liczbowe przy zmiennych

i dla ogólnego wzoru ogólna macierz formy ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{bmatrix}}\)

Dla naszego równania macierz formy przybierze postać:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-5\\-5&2\end{bmatrix}}\)

Następnie do macierzy dodajemy operator \(\displaystyle{ \Lambda}\) do przekątnej w której jest liczba 2

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2- \Lambda&-5\\-5&2-\Lambda\end{bmatrix}}\)

Obliczamy wyznacznik tej macierzy który ma postać \(\displaystyle{ \Lambda^{2}-4\Lambda -21}\) i to przyrównujemy do \(\displaystyle{ 0}\)

I wyliczamy pierwiastki tej funkcji i są to \(\displaystyle{ -3\ oraz\ 7}\)

Ostatnim krokiem jest ułożenie iloczynu macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x&y\end{bmatrix}}\) * \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 7&0\\0&-3\end{bmatrix}}\)[/latex]*\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}}\)

pamiętając że z pierwiastków lambdy układamy macierz diagonalną tak aby argumenty były ułożone NIEROSNĄCO.
Po wykonaniu mnożenia powstaje: \(\displaystyle{ 7 x^{2}-3y^{2}=21}\)

Zadanie poziomu I sem politechniki
ODPOWIEDZ