Znaleźć rzut prostopadły punktu \(\displaystyle{ P(-2,8,-7)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącą przez punkty
\(\displaystyle{ A(-4,1,3)}\) \(\displaystyle{ B(1,5,4)}\) \(\displaystyle{ C(3,3,2)}\) oraz punkt symetryczny do punktu P względem płaszczyzny.
Wyznaczam wektory:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=(5,4,1)}\)
\(\displaystyle{ \vec{CB}=(-2,2,2)}\)
Obliczam iloczyn wektorowy:
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{CB}=[6,-12,18]}\)
Punkt należący do płaszczyzny to np punkt A, wstawiam do ogólnej postaci płaszczyzny:
\(\displaystyle{ 6(x+4)-12(y-1)+18(z-3)=0}\)
Wyznaczam punkt P' należący do płaszczyzny z współczynników przed x,y i z:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-2+6t\\
y=8-12t\\
z=-7+18t \end{cases}}\)
Podstawiam pod równie płaszczyzny i wyliczam, wychodzi \(\displaystyle{ t=1/2}\) następnie podstawiam t, obliczając w ten sposób współrzędne punktu P' czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1\\
y=-2\\
z=2 \end{cases}}\)
Teraz obliczam wektor \(\displaystyle{ \vec{PP'}=[3,-6,9]}\)
\(\displaystyle{ \vec{PP'}=\vec{P'P"}}\)
\(\displaystyle{ P"(a,b,c)}\)
\(\displaystyle{ [3,-6,9]=[a-1,b-2,c-2]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=4\\
b=-4\\
c=11 \end{cases}}\)
P"(4,-4,11)
Proszę o sprawdzenie, z góry bardzo dziękuje
