Proste dzielące równoległobok

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Game_Over
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 12 paź 2012, o 15:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce

Proste dzielące równoległobok

Post autor: Game_Over »

Podaj równania wszystkich prostych dzielących równoległobok o wierzchołkach:\(\displaystyle{ A=(0,0), B=(6,0), C=(9,3), D=(3,3)}\) na dwa równoległoboki, których pola są w stosunku 2:1.

Czy ktoś jest w stanie pomóc mi z tym zadaniem ?
Pozdrawiam
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Proste dzielące równoległobok

Post autor: chris_f »

Pole całego równoległoboku wynosi \(\displaystyle{ 6\cdot3=18}\), zatem te dwa mniejsze równoległoboki muszą mieć pola \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 12}\).
Te proste albo będą równoległe do osi \(\displaystyle{ Ox}\) czyli będą postaci \(\displaystyle{ y=a}\), albo będą równoległe do prostej \(\displaystyle{ AD}\) o równaniu \(\displaystyle{ y=x}\) czyli będą postaci \(\displaystyle{ y=x-b}\).
W tym pierwszym przypadku
pole niżej położonego równoległoboku będzie wynosić \(\displaystyle{ 6a}\) i mamy stąd, że \(\displaystyle{ 6a=6\vee 6a=12}\) czyli \(\displaystyle{ a=1\vee a=2}\).
A zatem te dwie "poziome" proste mogą mieć równania \(\displaystyle{ y=1\vee y=2}\).
W tym drugim przypadku trochę pomoże rysunek
AU
AU
65957868438015470979_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 116 razy
[/url]
Nietrudno policzyć, że wysokość \(\displaystyle{ h}\) tego odcinanego równoległoboku będzie wynosić
\(\displaystyle{ h=\frac{b}{\sqrt{2}}}\), do tego podstawa równoległoboku \(\displaystyle{ |AD|=3\sqrt{2}}\) a zatem pole odcinanego równoległoboku wynosi
\(\displaystyle{ \frac{b}{\sqrt{2}}\cdot3\sqrt{2}=3b}\).
No i teraz mamy, ze
\(\displaystyle{ 3b=6\vee 3b=12}\), skąd \(\displaystyle{ b=2\vee b=4}\)
czyli szukane proste mogą mieć równania \(\displaystyle{ y=x-2\vee y=x-4}\)
Ostatecznie mamy cztery takie proste.
Game_Over
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 12 paź 2012, o 15:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce

Proste dzielące równoległobok

Post autor: Game_Over »

Rozumiem. Dzięki bardzo !

Mam jeszcze pytanie na przyszłość odnośnie rysunku. W jakim programie został sporządzony ?
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Proste dzielące równoległobok

Post autor: chris_f »

Tu akurat użyłem programu Graph (darmowy, po polsku), do pobrania ze strony
z tym, że on bardziej przydaje się do wykresów funkcji (zwykłych, parametrycznych, biegunowych), zaznaczaniu nierówności i ich układów - ale jak się wie, jak opisać proste, odcinki, okręgi, elipsy przy pomocy odpowiednich równań, to efekty są bardzo zadowalające.
Do bardziej skomplikowanych rysunków geometrycznych używam GeoGebry.
ODPOWIEDZ