Mam dana taka prosta :
\(\displaystyle{ l : \begin{cases}3x-2y+z=3 \\ x-2z=0 \end{cases}}\)
oraz plaszczyzne \(\displaystyle{ \pi_1 : x+y+z+8=0}\)
Musze napisac równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) zawierajacej prosta l i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_1}\).
Zbadaj wzajemne połozenie prostej l i krawedzi k przeciecia sie płaszczyzn
I kombinowalem w ten sposob ze
wektor normalny plaszczyzny tej podanej to \(\displaystyle{ n = [1,1,1]}\)
po przejsciu do postaci parametrycznej prostej otrzymalem ze
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t \\ y = - \frac{3}{2}+\frac{7}{2}t \\ z = t\end{cases}}\)
Z czego odczytalem ze wektor kieunkowy prostej ma postac \(\displaystyle{ v = [2,\frac{7}{2},1]}\)
Zbadalem wzajemne polozenie prostych i wyszlo mi ze sie przecinaja w punkcjie \(\displaystyle{ P = (-2,-5,-1)}\)
Wektor normalny nowej plaszczyzny ma byc prostopadly do wektora kierunkowego prostej oraz do wektora normalnego starej plaszczyzny, liczac iloczyn wektorowy otrzymalem \(\displaystyle{ w = [-\frac{5}{2},1,\frac{3}{2} ]}\)
i majac punkt przeciecia otrzymalem rownanie nowej plaszczyzny \(\displaystyle{ -5x+2y+3z+3=0}\)
Prosta k lezaca na przecieciu ma miec wektor kierunkowy prostopadly do obu wektorow normalnych czyli jest postaci \(\displaystyle{ [1,-8,7]}\)
Jest to dobrze do tej pory ?