Cześć! mam problem jeśli chodzi o jedno zadanie:
Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P\left( -3,1,4\right)}\) i zawierającej prostą \(\displaystyle{ k: x=4+2t, y=3-2t, z=1-4t}\) Oblicz odległość punktu\(\displaystyle{ K(-5,6,3)}\) od tej płaszczyzny.
Nie wiem jak w sumie zacząć, bo wiem tyle że muszę skorzystać ze wzoru na prostą i chyba wyznaczyć wektor n aby potem podstawić ten wektor i punkt P pod ten wzór...tak?
ale nie rozumiem wyliczenia odległości pkt K.nie jestem pewna nawet jakiego wzoru powinnam użyć
Proszę o wskazówki : )
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez pkt i prostą
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez pkt i prostą
Zaproponuję inną, bardziej elementarną metodę rozwiązania.
Niech \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) będzie równaniem ogólnym szukanej płaszczyzny. Należy wyznaczyć \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) pamiętając, że nie mogą być jednocześnie równe zeru.
Skoro prosta leży w płaszczyźnie, to ma z nią nieskończenie wiele punktów wspólnych.
Zatem równanie
Co więcej, uwzględniając punkt należący do płaszczyzny mamy \(\displaystyle{ -3A+B+4C+D=0}\). Ostatecznie otrzymujemy układ równań postaci \(\displaystyle{ \begin{cases} 2A-2B-4C=0 \\ 4A+3B+C+D=0 \\ -3A+B+4C+D=0\end{cases}}\).
Rozwiązując ten układ wystarczy rozważyć przypadki \(\displaystyle{ A=0, A=1}\) (jeśli bowiem \(\displaystyle{ A\ne 0}\), to dzieląc równanie płaszczyzny przez \(\displaystyle{ A}\) dostajemy równanie opisujące tę samą płaszczyznę).
Odległość punktu \(\displaystyle{ K}\) od płaszczyzny wyraża się wzorem
Niech \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) będzie równaniem ogólnym szukanej płaszczyzny. Należy wyznaczyć \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) pamiętając, że nie mogą być jednocześnie równe zeru.
Skoro prosta leży w płaszczyźnie, to ma z nią nieskończenie wiele punktów wspólnych.
Zatem równanie
\(\displaystyle{ A(4+2t)+B(3-2t)+C(1-4t)+D=0}\)
z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Ostatnie równanie jest równoważne następującemu: \(\displaystyle{ (2A-2B-4C)t+(4A+3B+C+D)=0}\).
Z otrzymanej równości dwumianów wynika, że \(\displaystyle{ \begin{cases} 2A-2B-4C=0 \\ 4A+3B+C+D=0 \end{cases}}\).Co więcej, uwzględniając punkt należący do płaszczyzny mamy \(\displaystyle{ -3A+B+4C+D=0}\). Ostatecznie otrzymujemy układ równań postaci \(\displaystyle{ \begin{cases} 2A-2B-4C=0 \\ 4A+3B+C+D=0 \\ -3A+B+4C+D=0\end{cases}}\).
Rozwiązując ten układ wystarczy rozważyć przypadki \(\displaystyle{ A=0, A=1}\) (jeśli bowiem \(\displaystyle{ A\ne 0}\), to dzieląc równanie płaszczyzny przez \(\displaystyle{ A}\) dostajemy równanie opisujące tę samą płaszczyznę).
Odległość punktu \(\displaystyle{ K}\) od płaszczyzny wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ \frac{|-5A+6B+3C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}\).
-
rhino_18
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez pkt i prostą
w życiu bym nie pomyślała o takim rozwiązaniu! teraz to jest bardzo proste i zrozumiałe. Na zajęciach wmuszają nam niestety korzystanie ze wzorów,ale ten sposób jest po prostu super Dziękuję! zrozumiałam