Wzór symetrii osiowej zadanej dwoma punktami

[piotr5]

Witam.
Mam nastepujący problem:
Na płaszczyźnie dane są punkty \(\displaystyle{ A=\left( x_1, y_1 \right)}\) i \(\displaystyle{ B=\left( x_2, y_2 \right)}\). Możemy określić symetrię osiową, która w przekształca \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ B}\) i na odwrót. Potrzebuję wzoru na tę symetrię w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' = ax + by + c \\ y' = dx + ey + f \end{cases}}\)
Z góry dziękuję za pomoc.

[szw1710]

Osią symetrii jest symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Punktem stałym jest środek odcinka. Aby określić odwzorowanie afiniczne, wystarczy mieć obrazy trzech punktów niewspółliniowych. Środek odcinka jest współliniowy z punktami. Więc na symetralnej weź inny punkt. I rozwiąż odpowiedni układ równań na współczynniki \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) przechodzi na \(\displaystyle{ B}\), mamy \(\displaystyle{ x_2=ax_1+by_1+c,\quad y_2=dx_1+ey_1+f}\).
Podobnie, skoro \(\displaystyle{ B}\) przechodzi na \(\displaystyle{ A}\), mamy ... I jeszcze ten trzeci punkt - leżący na symetralnej, ale różny od środka odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Niech to będzie \(\displaystyle{ C}\). Więc \(\displaystyle{ C}\) przechodzi na \(\displaystyle{ C}\). Musisz napisać równanie symetralnej.

[piotr5]

Do tego doszedłem sam: tylko w tym momencie uzyskuję 6 równań z 6 niewiadomymi (dokładniej: dwa układy po 3 równania) i dalej te wzory wychodzą bardzo skomplikowane i łatwo się pomylić. A dodatkowo wyjdą mi potem jakieś "łańcuchy" na każdy współczynnik, mimo, że będzie się dało zapisać krócej.