Znajdz prosta styczna do krzywej zadanej parametrycznie
\(\displaystyle{ x(t) = a sin^{2} t, y(t) = b sin t cos t, z(t) = c cos^{2} t}\)
w punkcie \(\displaystyle{ t= \frac{ \pi }{4}}\)
Napisz równanie płaszczyzny normalnej w zadanym punkcie.
Równanie stycznej
\(\displaystyle{ \frac{X-x}{ \frac{ \partial x}{ \partial t} } \frac{Y-y}{ \frac{ \partial y}{ \partial t} } \frac{Z-z}{ \frac{ \partial z}{ \partial t} }}\)
Równanie p. normalnej
\(\displaystyle{ \frac{ \partial x}{ \partial t}(X-x)+ \frac{ \partial y}{ \partial t}(Y-y)+ \frac{ \partial z}{ \partial t}(Z-z)}\)
\(\displaystyle{ (x,y,z)=( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} , \frac{c}{2} )}\) 1) Dlaczego ?
\(\displaystyle{ \frac{ \partial x}{ \partial t}=2asintcost=asin^{2}t}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial y}{ \partial t}=bcos^{2}t}\) 2) nie powinno być tutaj jeszcze \(\displaystyle{ +sin^{2}t}\) ?
\(\displaystyle{ \frac{ \partial z}{ \partial t}=2ccostsint=-sin2t}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial x}{ \partial t}|_{ \frac{ \pi }{4} }=a}\) 3) Dlaczego ?przecież \(\displaystyle{ sin \frac{ \pi }{4}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) czyli do kwadratu to \(\displaystyle{ \frac{1}{2 }a}\) a nie samo a.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial y}{ \partial t}|_{ \frac{ \pi }{4} }=0}\) to samo co wyzej
\(\displaystyle{ \frac{ \partial z}{ \partial t}|_{ \frac{ \pi }{4} }=-c}\) no i tu jest o.k \(\displaystyle{ sin \frac{ \pi }{2} =1}\) czyli \(\displaystyle{ -c}\) sie zgadza