katy trojkata

[17inferno]

dane sa wektory \(\displaystyle{ \vec{AB}=12 \vec{b}-4 \vec{a}}\) , \(\displaystyle{ \vec{BC}=-2 \vec{a}-14 \vec{b}}\) , \(\displaystyle{ \vec{CA}=6 \vec{a}+2 \vec{b}}\) tworzace trojkat. wektory \(\displaystyle{ \vec{a} \ i\ \vec{b}}\) sa jednostkowe i prostopadle. oblicz katy trojkata

[zaklopotany93]

zadanie sprowadza się do przekształcenia wzoru na iloczyn skalarny do postaci \(\displaystyle{ \cos \angle \left( \vec{u},\ \vec{v} \right)=\frac{ \vec{u} \circ \vec{v} }{|\vec{v}| \cdot |\vec{u}|}}\)

Możesz policzyć \(\displaystyle{ \cos \angle (\vec{AB},\vec{AC}), \cos \angle (\vec{BA},\vec{BC})}\) i ew. \(\displaystyle{ \cos \angle (\vec{CB},\vec{CA})}\) gdyby wartości cosinusów były nieciekawe (gdyby były jakieś znane to brakujący kąt możesz obliczyć odejmując te dwa kąty (które ew. odczytasz z wartości cosinusów) od \(\displaystyle{ 180^\circ}\)), jak wartości będą nieciekawe to albo zostawiasz wynik mając wartości cosinusów albo piszesz \(\displaystyle{ \arccos}\)

[chris_f]

Dla przykładu kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{AB},\vec{AC}}\).
Najpierw długości tych wektorów
\(\displaystyle{ |\vec{AB}|=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{AC}|=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}}\)
Teraz iloczyn skalarny
\(\displaystyle{ \vec{AB}\circ\vec{AC}=(12\vec b-4\vec a)\circ(-6\vec a-2\vec b)=
-72\vec a\circ\vec b-24\vec b\circ\vec b+24\vec a\circ\vec a+8\vec a\circ\vec b=-24+24=0}\)
To oznacza, że te dwa wektory są prostopadłe.
Korzystamy tu z faktu, że \(\displaystyle{ \vec a\circ\vec b=0}\) (bo są prostopadłe) i \(\displaystyle{ \vec a\circ\vec a=|\vec a|^2=1, \vec b\circ\vec b=|\vec b|^2=1}\)
Inne kąty obliczysz licząc cosinus kąta między wektorami.