Mam problem z zadaniem:
Na elipsie o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+2z ^{2}= 1}\) znaleźć punkty położone najdalej od prostej o równaniu \(\displaystyle{ x+y=4}\)
punkt najdalej od prostej
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
punkt najdalej od prostej
W równaniu elipsy powinno być chyba \(\displaystyle{ x^2+2y^2=1}\).
Wybieramy punkt z elipsy \(\displaystyle{ P=(x,y)}\), jego współrzędne spełniają oczywiście równanie elipsy, a zatem
\(\displaystyle{ x^2+2y^2=1}\)
\(\displaystyle{ x^2=1-2y^2}\)
\(\displaystyle{ x=\pm\sqrt{1-2y^2},\ y\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]}\).
A zatem punkt będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ P=(\pm\sqrt{1-2y^2},y)}\).
Równanie prostej piszemy w postaci ogólnej \(\displaystyle{ x+y-4=0}\).
Obliczamy odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od prostej
\(\displaystyle{ d=\frac{|\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4|}{\sqrt{2}}}\)
Jak widać ta odległość jest funkcją zależną od \(\displaystyle{ y}\), należy znaleźć jej ekstrema.
Z łatwością można zauważyć, że wyrażenie pod wartością bezwzględna jest dla \(\displaystyle{ y\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]}\) stale ujemne, zatem wartość bezwzględna przyjmie wartość największą, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną będzie najmniejsze.
Rozważamy funkcję
\(\displaystyle{ d(y)=\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4}\)
\(\displaystyle{ d'(y)=\pm\frac{1}{2\sqrt{1-2y^2}}\cdot(-4y)+1}\)
Gdy przed pierwiastkiem weźmiemy znak minus, to pochodna będzie stale dodatnia i ekstremów brak.
Rozwiązujemy zatem równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{1-2y^2}}\cdot(-4y)+1=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2y}{\sqrt{1-2y^2}}=-1}\)
\(\displaystyle{ 2y=\sqrt{1-2y^2}}\)
\(\displaystyle{ 4y^2=1-2y^2}\)
\(\displaystyle{ 6y^2=1}\)
\(\displaystyle{ y^2=\frac16}\)
\(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt{6}}{6}\vee y=\frac{\sqrt{6}}{6}}\)
Badając znaki pochodnej otrzymamy, że chodzi tu o \(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt{6}}{6}}\).
Dla tej wartości \(\displaystyle{ y}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \pm\sqrt{1-2y^2}=\pm\sqrt{1-2\cdot\frac16}=\pm\sqrt{\frac23}}}\)
Mamy zatem dwa możliwe punkty
\(\displaystyle{ P_1=\left(\sqrt{\frac23}},-\frac{\sqrt{6}}{6}\right),\ P_2=\left(-\sqrt{\frac23}},-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}\)
Obliczamy odległość \(\displaystyle{ d}\) dla obu tych punktów pokazuje, że większa jest odległość dla punktu \(\displaystyle{ P_2}\).
Rysunek może tu pomóc:
[/url]
Można było inaczej: wybrać punkt na danej prostej, napisać równanie prostopadłej do danej, znaleźć punkty przecięcia się tej prostopadłej z elipsą, policzyć odległość między tymi punktami przecięcia a punktem na prostej i wtedy szukać ekstremum.
Na jedno wyjdzie.
Wybieramy punkt z elipsy \(\displaystyle{ P=(x,y)}\), jego współrzędne spełniają oczywiście równanie elipsy, a zatem
\(\displaystyle{ x^2+2y^2=1}\)
\(\displaystyle{ x^2=1-2y^2}\)
\(\displaystyle{ x=\pm\sqrt{1-2y^2},\ y\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]}\).
A zatem punkt będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ P=(\pm\sqrt{1-2y^2},y)}\).
Równanie prostej piszemy w postaci ogólnej \(\displaystyle{ x+y-4=0}\).
Obliczamy odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od prostej
\(\displaystyle{ d=\frac{|\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4|}{\sqrt{2}}}\)
Jak widać ta odległość jest funkcją zależną od \(\displaystyle{ y}\), należy znaleźć jej ekstrema.
Z łatwością można zauważyć, że wyrażenie pod wartością bezwzględna jest dla \(\displaystyle{ y\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right]}\) stale ujemne, zatem wartość bezwzględna przyjmie wartość największą, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną będzie najmniejsze.
Rozważamy funkcję
\(\displaystyle{ d(y)=\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4}\)
\(\displaystyle{ d'(y)=\pm\frac{1}{2\sqrt{1-2y^2}}\cdot(-4y)+1}\)
Gdy przed pierwiastkiem weźmiemy znak minus, to pochodna będzie stale dodatnia i ekstremów brak.
Rozwiązujemy zatem równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{1-2y^2}}\cdot(-4y)+1=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2y}{\sqrt{1-2y^2}}=-1}\)
\(\displaystyle{ 2y=\sqrt{1-2y^2}}\)
\(\displaystyle{ 4y^2=1-2y^2}\)
\(\displaystyle{ 6y^2=1}\)
\(\displaystyle{ y^2=\frac16}\)
\(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt{6}}{6}\vee y=\frac{\sqrt{6}}{6}}\)
Badając znaki pochodnej otrzymamy, że chodzi tu o \(\displaystyle{ y=-\frac{\sqrt{6}}{6}}\).
Dla tej wartości \(\displaystyle{ y}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \pm\sqrt{1-2y^2}=\pm\sqrt{1-2\cdot\frac16}=\pm\sqrt{\frac23}}}\)
Mamy zatem dwa możliwe punkty
\(\displaystyle{ P_1=\left(\sqrt{\frac23}},-\frac{\sqrt{6}}{6}\right),\ P_2=\left(-\sqrt{\frac23}},-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)}\)
Obliczamy odległość \(\displaystyle{ d}\) dla obu tych punktów pokazuje, że większa jest odległość dla punktu \(\displaystyle{ P_2}\).
Rysunek może tu pomóc:
- AU
- 73037027393676702735_thumb.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 56 razy
Można było inaczej: wybrać punkt na danej prostej, napisać równanie prostopadłej do danej, znaleźć punkty przecięcia się tej prostopadłej z elipsą, policzyć odległość między tymi punktami przecięcia a punktem na prostej i wtedy szukać ekstremum.
Na jedno wyjdzie.