prosta i wektor

[tukanik]

Witam
Jak rozwiązać to zadanie:
Napisz równanie prostej prostopadłej do wektora u i przechodzącej przez punkt P, gdy:
a) \(\displaystyle{ \vec{u} =[-2,-2] P = (2,2)}\)


\(\displaystyle{ l:\ Ax+By+C=0\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \vec{u}=[A;B]\ \perp \ l}\)

Z czego to wynika?

[ares41]

Weźmy dwa punkty \(\displaystyle{ P_1, P_2 \in l}\), gdzie \(\displaystyle{ l:Ax+By+C=0}\). Pokażemy, że wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[kA,kB]}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ l}\).
Niech \(\displaystyle{ P_1=(x_1,y_1), \ P_2=(x_2,y_2)}\).
Współrzędne tych punktów muszą spełniać równanie prostej.
Mamy więc :
\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax_1+By_1+C=0 \\ Ax_2+By_2+C=0 \end{cases}}\)

Odejmując stronami mamy :
\(\displaystyle{ A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)=0 \ \ \ \ \ \left(\star\right)}\)

Zauważmy, że wektor \(\displaystyle{ \vec{t}=\vec{P_2P_1}=[x_1-x_2, y_1-y_2]}\) jest równoległy do prostej \(\displaystyle{ l}\), bo punkty \(\displaystyle{ P_1,P_2}\) należą do tej prostej.

Policzmy teraz iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{t}=kA(x_1-x_2)+kB(y_1-y_2)=k\left[A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)\right]}\). Na mocy \(\displaystyle{ \left(\star\right)}\) jest on równy \(\displaystyle{ 0}\). Zatem wektory \(\displaystyle{ \vec{t}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{u}}\) są prostopadłe, ale \(\displaystyle{ \vec{t}}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ l}\), czyli \(\displaystyle{ \vec{u}}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ l}\).

Przyjmując \(\displaystyle{ k=1}\) mamy to co chcieliśmy pokazać.

[tukanik]

mhm, dziękuję
A da się to jakoś jeszcze pokazać bez używania iloczynu skalarnego?

[loitzl9006]

Jakoś mniej formalnie - wydobyć informację o współczynniku kierunkowym prostej, na której leży podany wektor \(\displaystyle{ [-2;-2]}\).

Przypuśćmy że wektor zaczyna się w punkcie \(\displaystyle{ (0;0)}\), wtedy jego koniec jest w \(\displaystyle{ (-2;-2)}\). Z tego widać że linia na której leży wektor ma wsp. kierunkowy \(\displaystyle{ a=1}\). Jeżeli szukana prosta ma być \(\displaystyle{ \perp}\) do prostej zawierającej wektor, to wiadomo że musi mieć współczynnik kierunkowy równy \(\displaystyle{ -1}\). Zatem jej równanie to \(\displaystyle{ y=-x+b}\). Współczynnik \(\displaystyle{ b}\) znajdujesz podstawiając współrzędne \(\displaystyle{ P}\).