Po której stronie jesteś? Czyli prosta i punkty

[kubajunior]

Witam!
Jak rozwiązać za pomocą metod analitycznych zadanie:
Zbadaj, czy punkty \(\displaystyle{ A = \left( -31, 150\right)}\) oraz \(\displaystyle{ B= \left( -22, 61\right)}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ 3x + y - 1 = 0}\)

[octahedron]

Wektor normalny do prostej to \(\displaystyle{ \vec{n}=[3,1]}\), przechodzi ona przez punkt \(\displaystyle{ P=(0,1)}\). Jeśli \(\displaystyle{ \vec{n}\cdot\vec{PA}}\) i \(\displaystyle{ \vec{n}\cdot\vec{PB}}\) są jednakowego znaku, to \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą po tej samej stronie prostej, jeśli przeciwnego, to po przeciwnych.

[kubajunior]

Na jakiej zasadzie obliczyłeś wektor normalny do tej prostej? Dlaczego jest to \(\displaystyle{ [3; 1]}\) a nie \(\displaystyle{ [-3; 1]}\) jak wynika z zapisu \(\displaystyle{ y=-3x+1}\)?

Dlaczego akurat wziąłeś punkt \(\displaystyle{ p=\left( 0, 1\right)}\)
I skąd wziął się dalszy wywód, dlaczego akurat tak jest?

[octahedron]

\(\displaystyle{ Ax+By+C=0 \Rightarrow \vec{n}=[A,B]\\\\
y=ax+b \Rightarrow a=-\frac{A}{B}}\)

Można wziąć dowolny punkt na prostej, ale jeśli któraś współrzędna jest zerem, to się łatwiej liczy. Jeśli z tego punktu poprowadzimy wektory \(\displaystyle{ \vec{n}}\) i \(\displaystyle{ \vec{PA}}\), to iloczyn skalarny jest dodatni, gdy oba są skierowane na tą samą stronę prostej, a ujemny, gdy w przeciwną.

[kubajunior]

Ok policzyłem te wektory:
\(\displaystyle{ \vec{PA} = [-31; 149 ]}\) i \(\displaystyle{ \vec{PB} = [-22; 60]}\)
i nawet po pomnożeniu przez wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) wektory dają ten sam znak, a odpowiedzi mówią, że punkty leżą po różnej stronie prostej. O co chodzi?

[octahedron]

\(\displaystyle{ \left[-31,149\right]\cdot[3,1]=-93+149=56>0\\\\
\left[-22,60\right]\cdot [3,1]=-66+60=-6<0}\)