Napisz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny.

[BarSlo]

Witam.
Mam mały problem z równaniem prametrycznym płaszczyzny, dokładnie nie wiem jak wyznaczyć dwa niewspółliniowe wektory.

Mam punkt \(\displaystyle{ P=\left( 0,1,-3\right)}\) oraz wektor prostopadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{n}=\left( -2,3,-5\right)}\)

No to równanie ogóle, podstawiam liczby do wzoru \(\displaystyle{ \pi : A\left( x- x_{0} \right)+B\left( y- y_{0} \right)+C\left( z- z_{0} \right)}\)
I wychodzi \(\displaystyle{ -2x+3y-5z-18=0}\)

A teraz równanie parametryczne. Wiem, że te dwa wektory pomnożone skalarnie przez wektor normalny mają być równe zero. Czyli \(\displaystyle{ \vec{n}\circ \vec{u}=0}\) i \(\displaystyle{ \vec{n}\circ \vec{v}=0}\)

No to rozwiązuje \(\displaystyle{ \vec{n}\circ \vec{u}=0}\)

\(\displaystyle{ -2 \cdot x_{u}+3 \cdot y_{u}+\left( -5\right) \cdot z_{u}=0}\)

Podstawiam pod \(\displaystyle{ x=6,y=4,z=0}\)

Teraz \(\displaystyle{ \vec{n}\circ \vec{v}=0}\)

\(\displaystyle{ -2 \cdot x_{v}+3 \cdot y_{v}+\left( -5\right) \cdot z_{v}=0}\)

Podstawiam pod \(\displaystyle{ x=-5,y=0,z=2}\)

Następnie wstawiam pod wzór ogólny.

\(\displaystyle{ \pi : \begin{cases} x=x _{0}+a _{1}s+a _{2}t \\ y=y _{0}+b _{1}s+b _{2}t \\z=z _{0}+c _{1}s+c _{2}t \end{cases} t,s \in R}\)

\(\displaystyle{ \pi : \begin{cases} x=0+6s+-5t \\ y=1+4s+0 \\z=-3+0+2t \end{cases} t,s \in R}\)

Tylko, że w podręczniku wzięli sobie inne wektory i równanie parametryczne wyszło inne i teraz nie wiem czy te wektory mogą być dowolne czy jakieś specjalne ?

[pilkarz_amator]

Twoje rozwiązanie wydaje się ok, można wziąć dowolne liniowo niezależne kombinacje tych wektorów.