Układ równań i interpretacja geometryczna

[tukanik]

Witam
Mamy zadanie:
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y = |x-1| \\ x^2 + y^2 -2x -4y +1=0 \end{cases}}\)
oraz podaj jego geometryczną interpretację.
Można to robić tak, że widać, że drugie równanie to równanie okręgu. Narysujemy ten okrąg i prostą i już jest interpretacja geometryczna.
Ja zrobiłem natomiast inaczej.
Podzieliłem sobie wartość bezwzględną na przedziały, uzyskałem dwa układy równań. W każdym z układów równań uzyskałem \(\displaystyle{ y}\) zależne od \(\displaystyle{ x}\), i ten \(\displaystyle{ y}\) wstawiłem do drugiego równania otrzymując równanie kwadratowe. Rozwiązania wyszły te same. Rysując jednak interpretacje u mnie powstaje jedna parabola i prosta ( a właściwie półprosta). Czy to też jest poprawna interpretacja?

[bb314]

Rysując jednak interpretacje u mnie powstaje jedna parabola i prosta ( a właściwie półprosta). Czy to też jest poprawna interpretacja?

Nie. Drugie to jest okrąg, a pierwsze to dwie półproste z jednego punktu \(\displaystyle{ (1,0)}\)

[tukanik]

Czyli jeśli chodzi o algebraiczne i potem narysowaną postać po przekształceniach jest OK?
Ale im chodziło o narysowanie tej pierwotnej postaci i stąd błąd?

[bb314]

Ale im chodziło o narysowanie tej pierwotnej postaci

Co masz na myśli pisząc „pierwotna postać”? Jeśli masz na myśli to drugie równanie, to niezależnie od jego postaci, jest to równanie okręgu. Kropka.

[tukanik]

Ale popatrz, że ja podstawiłem z tego pierwszego równania y i już nie mamy równania okręgu tylko kwadratowe- parabolę. I ja właśnie narysowałem parabolę i półprostą. Czyli tak jakby po rozwiązaniu już równania. I pytam, czy mój rysunek jest zły, bo pewnie chodziło im o pierwotną postać równań z układów.

[bb314]

Geometryczną interpretacją rozwiązania tego układu równań są trzy punkty:

\(\displaystyle{ (-1,2),\ (1,0),\ (3,2)}\)

a graficzne rozwiązanie tego układu równań polega na narysowaniu okręgu i półprostych i odczytanie współrzędnych punktów przecięcia się tych wykresów.

[tukanik]

ok, a jak wyglądałoby graficzne rozwiązanie układu:
\(\displaystyle{ |x|+|y| = 5}\)
\(\displaystyle{ xy = -6}\)

[konrad509]

Pierwsze równanie to będzie kwadrat o przekątnej równej \(\displaystyle{ 2\cdot5=10}\) gdzie punkt przecięcia przekątnych leży w początku układu współrzędnych a wierzchołki na osiach układu.
Drugie równanie to będzie hiperbola.-- 14 sty 2013, o 23:11 --

[tukanik]

a skąd wiesz jak to narysować?

[konrad509]

Hiperbola no to chyba wiadomo. Co do tego drugiego to akurat wiedziałem, że tak jest
Ale ogólnie to trzeba by chyba to zrobić tak:
\(\displaystyle{ |x|+|y| = 5\\
|y|=5-|x|\\
\hbox {dla } y\geq0\, y=5-|x|\\
\hbox {dla } y<0\, y=|x|-5\\}\)
A potem w każdym z przypadków rozbić znowu na dwa przypadki dla \(\displaystyle{ x\geq0}\) i \(\displaystyle{ x<0}\) i narysować w danych przedziałach odpowiednie fragmenty prostych.

[tukanik]

OK, dzięki
Powiedz mi jeszcze w czym można takie fajne wykresy rysować?

[konrad509]

GeoGebra-- 15 sty 2013, o 17:20 --Z tym że nie da się (albo ja nie umiem) rysować wykresów, które nie są postaci \(\displaystyle{ y=}\). Ten kwadrat narysowałem "odręcznie" za pomocą odcinków