trojkąt Jak to zrobić?

tukanik · Post autor: **tukanik** » 8 sty 2013, o 21:59

W równoramiennym trójkącie prostokątnym punkt \(\displaystyle{ A = (3;1)}\) jest wierzchołkiem kąta ostrego. Przeciwległa do niego przyprostokątna zawiera się w prostej o równaniu \(\displaystyle{ x - y + 1 = 0}\) . Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki trójkąta.
Jak to zrobić?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 sty 2013, o 22:04

Popraw prostą.

[edit] W widoku minusa mi nie pokazało.

anna_ · Post autor: **anna_** » 8 sty 2013, o 22:07

Podpowiedź:
1 Równanie prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ x - y + 1 = 0}\) i przechodzącej przez \(\displaystyle{ A}\)
2 Punkt przecięcia obu prostych to wierzchołek kąta prostego

tukanik · Post autor: **tukanik** » 8 sty 2013, o 22:14

Widzę, że punkt przecięcia jest w kącie prostym, ale co mi to daje?

anna_ · Post autor: **anna_** » 8 sty 2013, o 22:14

Trójkat był równoramienny, więc coś chyba da.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 8 sty 2013, o 23:30

dalej nie wiem jak to rozwiązać

anna_ · Post autor: **anna_** » 8 sty 2013, o 23:36

Masz już współrzędne tegu punktu \(\displaystyle{ C}\) przy wierzchołku kąta prostego?

Policz długość przyprostokątnej \(\displaystyle{ AC}\)
Punkt \(\displaystyle{ B}\) leży na prostej \(\displaystyle{ x - y + 1 = 0}\) i \(\displaystyle{ |CB|=|AC|}\)

tukanik · Post autor: **tukanik** » 9 sty 2013, o 22:03

ehh, powiesz mi jak to zrobić?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 sty 2013, o 22:13

Masz już prostopadłą do danej ?

tukanik · Post autor: **tukanik** » 9 sty 2013, o 22:55

tak, mam i prostopadłą i dwa punkty.

Post autor: **loitzl9006** » 9 sty 2013, o 23:08

Znasz równanie okręgu ?

Jeżeli tak, to narysuj sobie okrąg o środku w wierzchołku kąta prostego, i promieniu równym długości przyprostokątnej danego trójkąta (promień możesz obliczyć ze wzoru na długość odcinka).

Współrzędne brakującego, trzeciego wierzchołka trójkąta znajdziesz, rozwiązując układ równań złożony z równania okręgu i równania danej prostej \(\displaystyle{ x - y + 1 = 0}\).

Tak naprawdę to wyjdą dwa rozwiązania tego układu, musisz wybrać właściwe (pomoże rysunek).

Jak masz już współrzędne trzeciego wierzchołka, to dalej już łatwo (masz dwa punkty należące do przeciwprostokątnej, więc możesz jednoznacznie wyznaczyć równanie prostej).

tukanik · Post autor: **tukanik** » 9 sty 2013, o 23:10

skąd mogę mieć pewność, że okrąg o środku w kącie prostym będzie miał promień równy przeciwprostokątnej?

Post autor: **loitzl9006** » 9 sty 2013, o 23:12

Promień tego okręgu ma być równy przyprostokątnej.

anna_ · Post autor: **anna_** » 9 sty 2013, o 23:18

Punkt przecięcia się prostych to \(\displaystyle{ C=(1,5;2,5)}\)
\(\displaystyle{ A = (3;1)}\)
Liczysz \(\displaystyle{ |AC|= \sqrt{(1,5-3)^2+(2,5-1)^2} = \frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)

Wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) leży na prostej \(\displaystyle{ y = x+1}\), więc jego współrzędne to \(\displaystyle{ B=(x,x+1)}\)
\(\displaystyle{ |CB|= \sqrt{(x-1,5)^2+(x+1-2,5)^2} = \sqrt{2x^2-6x+4,5}}\)
Trójkąt był równoramienny czyli \(\displaystyle{ |CB|=|AC|}\)
musisz rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2x^2-6x+4,5}=\frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2x^2-6x+4,5=4,5}\)
...
\(\displaystyle{ x=0}\) lub\(\displaystyle{ x=3}\)
\(\displaystyle{ B=(0,1)}\) lub \(\displaystyle{ B=(3,4)}\)

Teraz wzór na prostą przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ AB}\) - to prosta zawierająca przeciwprostokątną.

tukanik · Post autor: **tukanik** » 9 sty 2013, o 23:33

Promień tego okręgu ma być równy przyprostokątnej.

Skąd to wiadomo?