prosta leżąca w płaszczyźnie prostopadła do prostej

[sea_of_tears]

Przez punkt wspólny płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : x+y+z-1=0}\) i prostej l:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y-1=0\\
z+1=0
\end{cases}}\)
poprowadzić prostą leżącą w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) i prostopadłą do prostej l.

[lukasz1804]

Punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ l}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) jest \(\displaystyle{ (1,1,-1)}\). Wystarczy wyznaczyć wektor kierunkowy szukanej prostej - oznaczmy go przez \(\displaystyle{ (a,b,c)}\). (Tak naprawdę wystarczy znaleźć zależność dwóch spośród szukanych współrzędnych w zależności od trzeciej.)

Prosta \(\displaystyle{ l}\) ma następującą postać parametryczną: \(\displaystyle{ (0,1,-1)+x(1,0,0)}\). Ponieważ szukana prosta ma być prostopadła do prostej \(\displaystyle{ l}\), to \(\displaystyle{ a\cdot 1+b\cdot 0+c\cdot 0=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=0}\).

Ponieważ szukana prosta ma leżeć w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\), to musi mieć z tą płaszczyzną nieskończenie wiele punktów wspólnych. Zatem uwzględniając postać parametryczną szukanej prostej mamy \(\displaystyle{ (1+at)+(1+bt)+(-1+ct)-1=0}\) i to równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań. Przekształcając równoważnie dostajemy \(\displaystyle{ (a+b+c)t=0}\), tj. \(\displaystyle{ a+b+c=0}\).

Stąd i z powyższego mamy \(\displaystyle{ b+c=0}\), czyli \(\displaystyle{ c=-b}\). Zatem szukana prosta ma postać parametryczną \(\displaystyle{ (1,1,-1)+t(0,b,-b)=(1,1,-1)+bt(0,1,-1)}\). Przyjmując \(\displaystyle{ u=bt}\) dostajemy ostatecznie \(\displaystyle{ (1,1,-1)+u(0,1,-1)}\).