równanie prostej równoległej do płaszczyzny

[sea_of_tears]

Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(1,0,-1)}\) równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ 3x-2y-3z+3=0}\)i przecinającej prostą \(\displaystyle{ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-2}=\frac{z+2}{2}}\)

[lukasz1804]

Wystarczy wyznaczyć współrzędne wektora kierunkowego \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) prostej, a w zasadzie zależność dwóch współrzędnych od trzeciej.

Skoro prosta ma być równoległa do płaszczyzny, to jest prostopadła do wektora normalnego tej płaszczyzny.

Ponadto prosta przecina prostą o postaci parametrycznej \(\displaystyle{ (2,1,-2)+t(1,-2,2)}\), czyli ma z nią punkt wspólny. Zatem szukając punktu wspólnego, przyrównajmy postacie parametryczne obu prostych \(\displaystyle{ (1,0,-1)+s(a,b,c)=(2,1,-2)+t(1,-2,2)}\). W konsekwencji przyrównując poszczególne współrzędne otrzymany układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ s,t}\), który musi posiadać rozwiązanie.

[Frmen]

Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(1,0,-1)}\) równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ 3x-2y-3z+3=0}\)i przecinającej prostą \(\displaystyle{ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-2}=\frac{z+2}{2}}\)

albo tak:

każda płaszczyzna równoległa do
\(\displaystyle{ 3x-2y-3z+3=0}\)

ma postać

\(\displaystyle{ 3x-2y-3z=-B}\)

stąd

\(\displaystyle{ B = 6}\)

teraz z równań

\(\displaystyle{ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-2}=\frac{z+2}{2} = t}\)

wyliczasz

\(\displaystyle{ x, y, z}\)

wstawiasz do równania otrzymanej płaszczyzny wyliczasz \(\displaystyle{ t}\) a potem \(\displaystyle{ x, y, z}\)
i masz drugi punkt szukanej prostej.

Pozostaje wypisać równania tej prostej.