symetra punktu względem prostej

[sea_of_tears]

Znaleźć punkt \(\displaystyle{ B}\) symetryczny do punktu \(\displaystyle{ A=(2,-1,3)}\) względem prostej l :
\(\displaystyle{ x=3t, y=5t-7, z=2t+2}\)

[lukasz1804]

Wyznacz najpierw rzut prostopadły \(\displaystyle{ C}\) punktu \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\). Jest to punkt na prostej \(\displaystyle{ l}\) leżący najbliżej punktu \(\displaystyle{ B}\). Zatem funkcja odległości \(\displaystyle{ |BC|}\) zmiennej \(\displaystyle{ t}\) (a w konsekwencji funkcja \(\displaystyle{ |BC|^2}\) kwadratu odległości) realizuje minimum. Wyznacz odpowiednią wartość \(\displaystyle{ t}\) (odciętą wierzchołka paraboli).

Aby znaleźć punkt \(\displaystyle{ B'}\) symetryczny do \(\displaystyle{ B}\) względem prostej \(\displaystyle{ l}\), zauważ, że \(\displaystyle{ C}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ BB'}\).

[Frmen]

To bardzo siłowe podejście.

nie trzeba równań kwadratowych rozwiązywać. Można tak

1 Piszesz równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkt\(\displaystyle{ A}\),

2 Wyliczasz punkt przecięcia\(\displaystyle{ A'}\) tej płaszczyzny z prostą\(\displaystyle{ l}\)

3 \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} = 2 \cdot \overrightarrow{AA'}}\)