Dana jest elipsa opisana równaniem \(\displaystyle{ m x^2 + \frac{1}{m} y^2 = 1}\) oraz parabola \(\displaystyle{ f(x)=m x^2 - \sqrt{m}}\). Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ m}\) czworokąt utworzony z punktów przecięcia tej paraboli z elipsą i dołączonym punktem \(\displaystyle{ (0,0)}\) ma największe pole?
Z dedykacją dla Tetriando.
Elipsa z parametrem i parabolą
-
Tetriando
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 6 paź 2009, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bolesławiec
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 2 razy
Elipsa z parametrem i parabolą
Fajne zadanie Tyle nad nim ślęczałem już parę godzin temu miałem wrzucić odpowiedź, gdy nagle okazało się, że na początku coś źle policzyłem przez ten czas jeszcze parę razy się tak pookazywało no ale wreszcie jest moja rozkmina Mam nadzieję, że wszystko jest poprawnie a przynajmniej znaczna większość
Na początku określamy \(\displaystyle{ m}\), dla którego zadanie ma w ogóle sens - jest to \(\displaystyle{ m > 0}\). Pomoże nam to między innymi podczas możliwych uproszczeń.
Zauważamy, że nasza elipsa ma środek zawsze w punkcie przecięcia układu współrzędnych.
Następnie można zauważyć, że elipsa przecina osie układu współrzędnych w punktach:
\(\displaystyle{ (-\frac{1}{\sqrt{m}},0),(\frac{1}{\sqrt{m}},0),(0,\sqrt{m})}\) oraz \(\displaystyle{ (0,-\sqrt{m})}\).
Bierze się to z takiej oto rozkminy:
\(\displaystyle{ m x^2 + \frac{1}{m} y^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\frac{1}{m}} + \frac{y^2}{m} = 1}\)
Elipsa w pozycji kanonicznej:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}\)
\(\displaystyle{ a, b}\) - półosie elipsy
Więc
\(\displaystyle{ a = \frac{1}{\sqrt{m}} \\ b = \sqrt{m}}\)
Jeden z tych punktów nam się przyda.
Najpierw jednak przyjrzyjmy się funkcji \(\displaystyle{ f(x) = mx^2 - \sqrt{m}}\)
wyraz wolny \(\displaystyle{ c}\) wynosi \(\displaystyle{ -\sqrt{m}}\) dodatkowo brak części \(\displaystyle{ bx}\) powoduje, że nasza funkcja jest symetryczna względem osi \(\displaystyle{ OY}\).
Można dzięki temu wywnioskować, że wierzchołek paraboli będzie zawsze leżał w punkcie \(\displaystyle{ (0,-\sqrt{m})}\), czyli tam, gdzie jest najniższy punkt naszej elipsy, który przecina oś \(\displaystyle{ OY}\). Pierwszy punkt znaleziony. Dodatkowo wierzchołek ten zawsze będzie najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) i będzie ona zawsze mniejsza niż \(\displaystyle{ 0}\). \(\displaystyle{ (m>0)}\)
To jest nasz magiczny pierwiastek podwójny, który napotkamy później.
Pozostają pozostałe dwa, które będą zawsze różne od siebie oraz od pierwszego punktu, będą one również wzajemnym odbiciem symetrycznym względem osi OY, czyli ich współrzędne będą dały się opisać w sposób następujący: \(\displaystyle{ B = (x,y) \ C = (-x,y)}\).
Teraz zasadnicza część rozwiązywania :
Wstawmy naszą funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) do równania elipsy:
\(\displaystyle{ mx^2 + \frac{(mx^2 - \sqrt{m})^2}{m} = 1}\)
\(\displaystyle{ mx^2 + \frac{m^2x^4 - 2m\sqrt{m}x^2 + m}{m} - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ mx^2 + mx^4 - 2\sqrt{m}x^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ mx^4 + (m - 2\sqrt{m})x^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ \textcolor{red}{x^2} (mx^2 + m - 2\sqrt{m}) = 0}\)
Odnaleźliśmy nasz pierwiastek podwójny. Zasadnicza część, czyli reszta punktów, znajduje się w nawiasie.
Policzmy deltę naszego wyrazu w nawiasie:
\(\displaystyle{ \Delta = -4m(m-2\sqrt{m}) = 4m(-m + 2\sqrt{m})}\)
Policzmy jeszcze deltę wyrażenia w nawiasie by określić maksymalną wartość \(\displaystyle{ m}\), dla której zadanie ma sens:
\(\displaystyle{ \Delta_{\Delta} = -m + 2\sqrt{m} > 0}\)
\(\displaystyle{ m - 2\sqrt{m} < 0}\)
\(\displaystyle{ m^2 - 4m < 0}\)
\(\displaystyle{ m_{1} = \frac{4-4}{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ m_{2} = \frac{4+4}{2} = 4}\)
Zatem \(\displaystyle{ m \in (0,4)}\)
Policzmy teraz pozostałe \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki naszego głównego równania:
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{-\sqrt{4m(2\sqrt{m}-m)}}{2m} = \frac{-2m\sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}}{2m} = -\sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}}\)
Zauważmy teraz, że do policzenia pola czworokąta wystarczy nam jego połowa, ponieważ czworokąt ten jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY}\). Zatem wystarczy policzyć pole prawego trójkąta i pomnożyć go przez \(\displaystyle{ 2}\).
Weźmy zatem pierwiastek \(\displaystyle{ x_{2}}\), który zawsze będzie miał większą wartość od \(\displaystyle{ x_{1}}\) i będzie po prawej stronie osi \(\displaystyle{ OY}\).
Pole tego trójkąta wyliczymy ze wzoru: 1/2 podstawy * wysokość, gdzie podstawą będzie półoś \(\displaystyle{ b}\) elipsy (odległość dodanego punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) od wierzchołka funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)) a wysokością współrzędna \(\displaystyle{ x}\) naszego wierzchołka prawego trójkąta, czyli po prostu \(\displaystyle{ x_{2}}\).
Wzór na pole czworokąta:
\(\displaystyle{ P(m) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1} = \sqrt{\frac{2m}{\sqrt{m}} - m} = \sqrt{2\sqrt{m} - m}}\)
Dla pewnego \(\displaystyle{ m}\) maksimum:
\(\displaystyle{ P(m) = \sqrt{2\sqrt{m} - m}}\)
to także maksimum:
\(\displaystyle{ g(m) = 2\sqrt{m} - m}\)
Policzmy pochodną:
\(\displaystyle{ g'(m) = \frac{1}{\sqrt{m}} - 1}\)
Poszukajmy ekstremum(maksimum):
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{m}} - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{m}} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{m} = 1}\)
\(\displaystyle{ \textcolor{red}{m = 1}}\)
I oto znaleźliśmy nasze maksimum, które mieści się w przedziale \(\displaystyle{ (0,4)}\)
Maksymalne pole czworokąta wynosi:
\(\displaystyle{ P(1) = \sqrt{2\sqrt{1} - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1}\)
Dla naszego \(\displaystyle{ m = 1}\) elipsa staje się okręgiem, zaś czworokąt trójkątem
W innym przypadku mamy do czynienia z elipsą a czworokąt jest albo latawcem albo deltoidem
Dla \(\displaystyle{ m \rightarrow 0 \vee m \rightarrow 4}\) pole maleje do \(\displaystyle{ 0}\)
Koniec zadania
Pozdrawiam
Na początku określamy \(\displaystyle{ m}\), dla którego zadanie ma w ogóle sens - jest to \(\displaystyle{ m > 0}\). Pomoże nam to między innymi podczas możliwych uproszczeń.
Zauważamy, że nasza elipsa ma środek zawsze w punkcie przecięcia układu współrzędnych.
Następnie można zauważyć, że elipsa przecina osie układu współrzędnych w punktach:
\(\displaystyle{ (-\frac{1}{\sqrt{m}},0),(\frac{1}{\sqrt{m}},0),(0,\sqrt{m})}\) oraz \(\displaystyle{ (0,-\sqrt{m})}\).
Bierze się to z takiej oto rozkminy:
\(\displaystyle{ m x^2 + \frac{1}{m} y^2 = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\frac{1}{m}} + \frac{y^2}{m} = 1}\)
Elipsa w pozycji kanonicznej:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}\)
\(\displaystyle{ a, b}\) - półosie elipsy
Więc
\(\displaystyle{ a = \frac{1}{\sqrt{m}} \\ b = \sqrt{m}}\)
Jeden z tych punktów nam się przyda.
Najpierw jednak przyjrzyjmy się funkcji \(\displaystyle{ f(x) = mx^2 - \sqrt{m}}\)
wyraz wolny \(\displaystyle{ c}\) wynosi \(\displaystyle{ -\sqrt{m}}\) dodatkowo brak części \(\displaystyle{ bx}\) powoduje, że nasza funkcja jest symetryczna względem osi \(\displaystyle{ OY}\).
Można dzięki temu wywnioskować, że wierzchołek paraboli będzie zawsze leżał w punkcie \(\displaystyle{ (0,-\sqrt{m})}\), czyli tam, gdzie jest najniższy punkt naszej elipsy, który przecina oś \(\displaystyle{ OY}\). Pierwszy punkt znaleziony. Dodatkowo wierzchołek ten zawsze będzie najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) i będzie ona zawsze mniejsza niż \(\displaystyle{ 0}\). \(\displaystyle{ (m>0)}\)
To jest nasz magiczny pierwiastek podwójny, który napotkamy później.
Pozostają pozostałe dwa, które będą zawsze różne od siebie oraz od pierwszego punktu, będą one również wzajemnym odbiciem symetrycznym względem osi OY, czyli ich współrzędne będą dały się opisać w sposób następujący: \(\displaystyle{ B = (x,y) \ C = (-x,y)}\).
Teraz zasadnicza część rozwiązywania :
Wstawmy naszą funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) do równania elipsy:
\(\displaystyle{ mx^2 + \frac{(mx^2 - \sqrt{m})^2}{m} = 1}\)
\(\displaystyle{ mx^2 + \frac{m^2x^4 - 2m\sqrt{m}x^2 + m}{m} - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ mx^2 + mx^4 - 2\sqrt{m}x^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ mx^4 + (m - 2\sqrt{m})x^2 = 0}\)
\(\displaystyle{ \textcolor{red}{x^2} (mx^2 + m - 2\sqrt{m}) = 0}\)
Odnaleźliśmy nasz pierwiastek podwójny. Zasadnicza część, czyli reszta punktów, znajduje się w nawiasie.
Policzmy deltę naszego wyrazu w nawiasie:
\(\displaystyle{ \Delta = -4m(m-2\sqrt{m}) = 4m(-m + 2\sqrt{m})}\)
Policzmy jeszcze deltę wyrażenia w nawiasie by określić maksymalną wartość \(\displaystyle{ m}\), dla której zadanie ma sens:
\(\displaystyle{ \Delta_{\Delta} = -m + 2\sqrt{m} > 0}\)
\(\displaystyle{ m - 2\sqrt{m} < 0}\)
\(\displaystyle{ m^2 - 4m < 0}\)
\(\displaystyle{ m_{1} = \frac{4-4}{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ m_{2} = \frac{4+4}{2} = 4}\)
Zatem \(\displaystyle{ m \in (0,4)}\)
Policzmy teraz pozostałe \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki naszego głównego równania:
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{-\sqrt{4m(2\sqrt{m}-m)}}{2m} = \frac{-2m\sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}}{2m} = -\sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}}\)
Zauważmy teraz, że do policzenia pola czworokąta wystarczy nam jego połowa, ponieważ czworokąt ten jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY}\). Zatem wystarczy policzyć pole prawego trójkąta i pomnożyć go przez \(\displaystyle{ 2}\).
Weźmy zatem pierwiastek \(\displaystyle{ x_{2}}\), który zawsze będzie miał większą wartość od \(\displaystyle{ x_{1}}\) i będzie po prawej stronie osi \(\displaystyle{ OY}\).
Pole tego trójkąta wyliczymy ze wzoru: 1/2 podstawy * wysokość, gdzie podstawą będzie półoś \(\displaystyle{ b}\) elipsy (odległość dodanego punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) od wierzchołka funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\)) a wysokością współrzędna \(\displaystyle{ x}\) naszego wierzchołka prawego trójkąta, czyli po prostu \(\displaystyle{ x_{2}}\).
Wzór na pole czworokąta:
\(\displaystyle{ P(m) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1} = \sqrt{\frac{2m}{\sqrt{m}} - m} = \sqrt{2\sqrt{m} - m}}\)
Dla pewnego \(\displaystyle{ m}\) maksimum:
\(\displaystyle{ P(m) = \sqrt{2\sqrt{m} - m}}\)
to także maksimum:
\(\displaystyle{ g(m) = 2\sqrt{m} - m}\)
Policzmy pochodną:
\(\displaystyle{ g'(m) = \frac{1}{\sqrt{m}} - 1}\)
Poszukajmy ekstremum(maksimum):
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{m}} - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{m}} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{m} = 1}\)
\(\displaystyle{ \textcolor{red}{m = 1}}\)
I oto znaleźliśmy nasze maksimum, które mieści się w przedziale \(\displaystyle{ (0,4)}\)
Maksymalne pole czworokąta wynosi:
\(\displaystyle{ P(1) = \sqrt{2\sqrt{1} - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1}\)
Dla naszego \(\displaystyle{ m = 1}\) elipsa staje się okręgiem, zaś czworokąt trójkątem
- AU
- zFxvd.png (22.2 KiB) Przejrzano 79 razy
- AU
Koniec zadania
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 4 sty 2013, o 02:36 przez Tetriando, łącznie zmieniany 1 raz.