Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), którego punkty mają współrzędne \(\displaystyle{ A = (0,0), B = (4,0), C = (0,m)}\).
Okrąg \(\displaystyle{ o_{1}}\) jest okręgiem opisanym tego trójkąta.
Okrąg \(\displaystyle{ o_{2}}\) ma środek w punkcie przecięcia się dwusiecznych trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) oraz przechodzi przez środek odcinka \(\displaystyle{ BC}\).
AU
vGmaG.png (19.35 KiB) Przejrzano 137 razy
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) okręgi \(\displaystyle{ o_{1}}\) i \(\displaystyle{ o_{2}}\) są styczne wewnętrznie?
niech \(\displaystyle{ r,R}\) to promienie okręgów wpisanego i opisanego
okrąg z zadania musi mieć promień \(\displaystyle{ \frac R2}\) a tak się składa że środek przeciwprostokątnej to środek okręgu opisanego, więc korzystając ze wzoru na odległość środków okręgu wpisanego i opisanego możemy napisać \(\displaystyle{ \left( \frac R2 \right) ^2 = R^2 - 2Rr}\)
ponadto \(\displaystyle{ 2r = a+b-c, 2R = c}\) a boki znamy więc pozostaje doliczenie tego do końca...
Wydaje mi się, że timon ma bardzo dobrą koncepcję, ponieważ liczona jest odległośc między środkami okręgu opisanego i wpisanego a ten mniejszy okrąg ma środek okręgu wpisanego ale nie zawsze nim jest.
Natomiast bb314, tobie dobrze wyszedł pierwszy parametr m.
Zaznaczam jednak, że ilość rozwiązań wynosi \(\displaystyle{ 4}\)
Pozdrawiam
//edit
timon ma rację, wyznaczyłem funkcję określającą opartą na przekształconym równaniu:
\(\displaystyle{ (\frac{R}{2})^2 = R^2 - 2Rr}\)
Zależną od \(\displaystyle{ m}\). Miejsca zerowe pokrywają się z momentem gdy okręgi są styczne.
