trzy punkty wspólne

[Tetriando]

Zadanie nr 4

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x) = (m + 1) x^2 + m^2 x - 4m + 2}\).

Ma dokładnie trzy punkty wspólne z okręgiem \(\displaystyle{ o: (x-2)^2 + (y-10)^2 = 25}\)

Pozdro

[JakimPL]

Czy jesteś świadomy, że równanie czwartego stopnia w tym wypadku ma wyróżnik stopnia czternastego? Tak więc nawet i obniżenie stopnia przy szukaniu pierwiastków podwójnych niewiele zmienia.

Oczywisty parametr to \(\displaystyle{ m\approx 2}\) i będą poza nim jeszcze dwa ujemne.

\(\displaystyle{ m_1 = -5.3322}\), \(\displaystyle{ m_2 = -2.12131}\), \(\displaystyle{ m_3=1.87666}\).

Sztuka tworzenia zadań polega na odpowiednim poziomie złożoności nie obliczeń, a metody. Niech chociaż ładne liczby wychodzą .

[Dilectus]

Hmm... Na pierwszy rzut oka istnieje sporo takich parabol:
1. parabole, która mają min. w punkcie (2, 5);
2. parabole, która mają max. w punkcie (2, 15);
3. parabole, które są styczne do okręgu w punkcie (7, 10) - jedna z "wąsami" w górę, druga z "wąsami" w dół;
4. parabole, które są styczne do okręgu w punkcie (-3, 10) - jedna z "wąsami" w górę, druga z "wąsami" w dół.

[Tetriando]

JakimPL, jeszcze jeden ujemny około -0,3 a tak to reszta wspaniale rozwiązana i dzięki za upomnienie w tej kwestii, jakbyś jeszcze uchylił rąbka tajemnicy jak to można policzyć to byłbym wdzięczny Zrobić zadanie to jedno a je rozwiązać to drugie

Pozdrawiam

[JakimPL]

Faktycznie jest jeszcze jedna, umknęła mi podczas spisywania (\(\displaystyle{ m_4=-0.273074}\)). Mamy:

\(\displaystyle{ y = (m + 1) x^2 + m^2 x - 4m + 2}\)

Wstawiamy to do równania okręgu:

\(\displaystyle{ (x-2)^2 + (y-10)^2 = 25}\)

otrzymując:

\(\displaystyle{ (x - 2)^2 + \big(((m + 1) x^2 + m^2 x - 4 m + 2) - 10\big)^2 = 25}\)

Po zapisaniu w postaci ogólnej:

\(\displaystyle{ 43 + 64 m + 16 m^2 - 4 x - 16 m^2 x - 8 m^3 x - 15 x^2 - 24 m x^2 - 8 m^2 x^2 + m^4 x^2 + 2 m^2 x^3 + 2 m^3 x^3 + x^4 + 2 m x^4 + m^2 x^4 = 0}\)

Wyróżnik \(\displaystyle{ ax^4+bx^2+cx^3+dx^2+e}\) wynosi:

\(\displaystyle{ \Delta = b^2 c^2 d^2 - 4 a c^3 d^2 - 4 b^3 d^3 + 18 a b c d^3 - 27 a^2 d^4 - 4 b^2 c^3 e + 16 a c^4 e + 18 b^3 c d e - 80 a b c^2 d e - 6 a b^2 d^2 e + 144 a^2 c d^2 e - 27 b^4 e^2 + 144 a b^2 c e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 - 192 a^2 b d e^2 + 256 a^3 e^3}\)

Wstawiając:

\(\displaystyle{ a = 1 + 2 m + m^2\\
b = 2 m^2 + 2 m^3\\
c = -15 - 24 m - 8 m^2 + m^4\\
d = -4 - 16 m^2 - 8 m^3\\
e = 43 + 64 m + 16 m^2}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 256 (1 + 2 m + m^2)^3 (43 + 64 m + 16 m^2)^3 - 27 (1 + 2 m + m^2)^2 (-4 - 16 m^2 - 8 m^3)^4 - 192 (1 + 2 m + m^2)^2 (43 + 64 m + 16 m^2)^2 (-4 - 16 m^2 - 8 m^3) (2 m^2 + 2 m^3) - 6 (1 + 2 m + m^2) (43 + 64 m + 16 m^2) (-4 - 16 m^2 - 8 m^3)^2 (2 m^2 + 2 m^3)^2 - 4 (-4 - 16 m^2 - 8 m^3)^3 (2 m^2 + 2 m^3)^3 - 27 (43 + 64 m + 16 m^2)^2 (2 m^2 + 2^3)^4 + 144 (1 + 2 m + m^2)^2 (43 + 64 m + 16 m^2) (-4 - 16 m^2 - 8 m^3)^2 (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4) + 18 (1 + 2 m + m^2) (-4 - 16 m^2 - 8 m^3)^3 (2 m^2 + 2 m^3) (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4) + 144 (1 + 2 m + m^2) (43 + 64 m + 16 m^2)^2 (2 m^2 + 2 m^3)^2 (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4) + 18 (43 + 64 m + 16 m^2) (-4 - 16 m^2 - 8 m^3) (2 m^2 + 2 m^3)^3 (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4) - 128 (1 + 2 m + m^2)^2 (43 + 64 m + 16 m^2)^2 (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4)^2 - 80 (1 + 2 m + m^2) (43 + 64 m + 16 m^2) (-4 - 16 m^2 - 8 m^3) (2 m^2 + 2 m^3) (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4)^2 + (-4 - 16 m^2 - 8 m^3)^2 (2 m^2 + 2 m^3)^2 (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4)^2 - 4 (1 + 2 m + m^2) (-4 - 16 m^2 - 8 m^3)^2 (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4)^3 - 4 (43 + 64 m + 16 m^2) (2 m^2 + 2 m^3)^2 (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4)^3 + 16 (1 + 2 m + m^2) (43 + 64 m + 16 m^2) (-15 - 24 m - 8 m^2 + m^4)^4}\)

Upraszczając:

\(\displaystyle{ \Delta = 655600 + 6400224 m + 24687600 m^2 + 49706112 m^3 + 55589200 m^4 + 31246368 m^5 + 2381776 m^6 - 7328704 m^7 - 4244128 m^8 - 1239136 m^9 - 373648 m^{10} - 99072 m^{11} - 12544 m^{12} - 2272 m^{13} - 336 m^{14}}\)

Szukamy rzeczywistych pierwiastków tego równania różnych od \(\displaystyle{ m=1}\) (dla których otrzymujemy funkcję liniową). Można przeformułować to zadanie:

Dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) parabola \(\displaystyle{ f(x) = x^2 + \sqrt{m} x - 1}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) punkty wspólne z okręgiem o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=2}\)?

Ale obliczeń dalej od cholery, tym niemniej wyniki "przyzwoite". Przelicz i porównaj sam .