Obrót układu współrzędnych wokół osi ox,oy,oz.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Xender
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 gru 2008, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy

Obrót układu współrzędnych wokół osi ox,oy,oz.

Post autor: Xender »

Mam wzory opisane w ten sposób, problem w tym jak poradzić sobie z tymi macierzami:

Dla osi \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x'\\y'\\z'\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos \alpha&\sin \alpha\\0&-\sin \alpha&\cos \alpha\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]}\)



Dla osi \(\displaystyle{ y}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x'\\y'\\z'\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha&0&\sin \alpha\\0&1&0\\-\sin \alpha&0&\cos \alpha\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]}\)



Dla osi \(\displaystyle{ z}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x'\\y'\\z'\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha&\sin \alpha&0\\-\sin \alpha&\cos \alpha&0\\0&0&1\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right]}\)



Jak teraz z tego wyliczyć wzory bezpośrednio na każdą współrzędną?
Ostatnio zmieniony 19 gru 2012, o 22:28 przez Xender, łącznie zmieniany 2 razy.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Obrót układu współrzędnych wokół osi ox,oy,oz.

Post autor: lukasz1804 »

Wystarczy wiedzieć, w jaki sposób mnożyć macierze - wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right]}\) należy potraktować jako macierz.
Xender
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 gru 2008, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy

Obrót układu współrzędnych wokół osi ox,oy,oz.

Post autor: Xender »

Po wymnożeniu macierzy będę miał po x',y',z' po kolei w pierwszym, drugim i trzecim wierszu?
Dokładniej suma elementów każdego wiersza?

Chodzi mi o uzyskanie osobno wzorów dla każdej z niewiadomych.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Obrót układu współrzędnych wokół osi ox,oy,oz.

Post autor: lukasz1804 »

Każda kolejna współrzędna wektora \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right]}\), jest sumą iloczynów wyrazów macierzy z wiersza odpowiadającego wierszu, w którym znajduje się \(\displaystyle{ x',y',z'}\) i kolejnych współrzędnych wektora \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right]}\), np. dla osi \(\displaystyle{ x}\) mamy
\(\displaystyle{ x'=1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z \\ y'=0\cdot x+\cos\alpha\cdot y+\sin\alpha\cdot z \\ z'=0\cdot x+(-\sin\alpha)\cdot y+\cos\alpha\cdot z}\).
Xender
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 gru 2008, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 2 razy

Obrót układu współrzędnych wokół osi ox,oy,oz.

Post autor: Xender »

dzięki
ODPOWIEDZ