zadania różne

[davidd]

1. Podaj równanie prostej prostopadłej do wektora \(\displaystyle{ v = [1,2]}\) i zawierającej punkt \(\displaystyle{ A(3,1)}\)

\(\displaystyle{ y= ax + 1 - 3a}\)

Kiedy prosta jest prostopadła do wektora?

2.Wyznacz obraz prostej \(\displaystyle{ y=3x+1}\) w przekształceniu przez symetrię osiową względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\)

Punkt wspólny tych dwóch prostych będzie mieć współrzędne \(\displaystyle{ P( -\frac{1}{2} , - \frac{1}{2})}\)

3. Napisz wzór określający funkcję której wykres jest symetryczny do wykresu \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{3}x- 2}\) względem prostej \(\displaystyle{ x=2}\)

4. Wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (2,7)}\). Symetralna wysokości CD ma równanie \(\displaystyle{ 2x+y-1=0}\) a środkowa trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) jest zawarta w prostej o równaniu\(\displaystyle{ x+3y-8=0}\). Oblicz współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\) oraz wierzchołków \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

Tutaj punkt \(\displaystyle{ D}\) będzie mieć współrzędne \(\displaystyle{ D(x, -2x+1)}\) ?

[loitzl9006]

Zad. 1
Prostopadła do wektora - oznacza prostopadłą do prostej wyznaczonej przez ten wektor. Zauważ że jeżeli narysujesz wektor \(\displaystyle{ v}\) w początku układu współrzędnych (czyli w punkcie \(\displaystyle{ (0;0)}\)), to końcem tego wektora będzie punkt \(\displaystyle{ (1;2)}\). Wektor \(\displaystyle{ v}\) wyznacza wtedy prostą przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ (0;0)}\) i \(\displaystyle{ (1;2)}\) czyli prostą \(\displaystyle{ y=2x}\).

Zad. 2
Wyznacz równanie prostej \(\displaystyle{ k}\): która jest prostopadła do \(\displaystyle{ y=x}\) i przechodzi przez dowolny punkt należący do prostej \(\displaystyle{ y=3x+1}\) (wybierasz sobie) może być np. punkt \(\displaystyle{ B(1;4)}\). Wyznaczasz punkt \(\displaystyle{ S}\) - punkt przecięcia się tej wyznaczonej prostej \(\displaystyle{ k}\), z prostą \(\displaystyle{ y=x}\). Wyznaczasz teraz punkt \(\displaystyle{ B'}\) (jego współrzędne) - czyli odbicie symetryczne punktu \(\displaystyle{ B}\) względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). W tym celu wyznaczasz współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{BS}}\), a następnie korzystasz z równości wektorów: \(\displaystyle{ \vec{BS}= \vec{SB'}}\). W końcu piszesz równanie prostej przechodzącej przez punkty: \(\displaystyle{ B'}\) i \(\displaystyle{ P( -\frac{1}{2} , - \frac{1}{2})}\).

Zad. 3
Spróbuj narysować te dane proste - przy w miarę dokładnym rysunku (w skali) wszystko powinno być widoczne i jasne.

Zad. 4

Symetralna wysokości \(\displaystyle{ CD}\)

jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ CD}\). Wykorzystaj to, i znajdź punkt przecięcia symetralnej i wysokości - nazwij go np. \(\displaystyle{ K}\). Potem z równości wektorów \(\displaystyle{ \vec{CK}= \vec{KD}}\) powinieneś znaleźć współrzędne \(\displaystyle{ D}\).

Prosta \(\displaystyle{ AB}\) (zawierająca punkt \(\displaystyle{ D}\)) jest równoległa do symetralnej wysokości \(\displaystyle{ CD}\). Wykorzystaj tę informację do znalezienia równania prostej \(\displaystyle{ AB}\). Jak już będziesz miał to równanie, to wyznacz punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ AB}\) z daną w zadaniu środkową - będziesz miał współrzędne \(\displaystyle{ A}\). Współrzędne \(\displaystyle{ B}\) znajdziesz, wyznaczając równanie prostej \(\displaystyle{ BC}\) - wykorzystaj fakt, że do tej prostej należą punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ \left( x; \frac{8-x}{3} \right)}\) - (z danej środkowej) i \(\displaystyle{ C(2;7)}\), a następnie szukając punktu wspólnego prostych \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AB}\).

[davidd]

2) Wyznaczyłem prostą \(\displaystyle{ k: y= -x+5}\) i iksy mi się redukują, bo przecież aby znaleźć \(\displaystyle{ S}\) muszę porównać prostą \(\displaystyle{ y=x}\) i \(\displaystyle{ y=-x+5}\)

3) Tutaj znajduję \(\displaystyle{ f(2)}\) i względem tego punktu rysuję funkcję, której wykres będzie prostopadły do danej funcji?

[loitzl9006]

Nie skrócą się iksy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x \\ y=-x+5\end{cases} \\ \\ x=-x+5 \\ \\ 2x=5 \\ \\ x=\frac52 \\ \\ y=\frac52 \\ \\ S\left( \frac52;\frac52\right)}\)

Co do trzeciego zadania, to postępuj tak jakby prosta \(\displaystyle{ x=2}\) była osią \(\displaystyle{ y}\) - masz coś w stylu symetrii względem osi \(\displaystyle{ y}\).