wyznaczyć równanie płaszczyzny

rooker · Post autor: **rooker** » 14 gru 2012, o 21:15

Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej prostą \(\displaystyle{ L: \begin{cases} x+y=1 \\ 3x-y+z=0\end{cases}}\) i równoległej do prostej\(\displaystyle{ K: \begin{cases} x+z=1\\ 3x-y+z=0 \end{cases}}\) .

1)wyznaczam iloczyn wektorowy dwóch płaszczyzn i powstają mi wektory równoloegłe do \(\displaystyle{ L[-3,1,-2]}\) i \(\displaystyle{ K[1,2,-1]}\)
2)Znajduje punkt należacy do \(\displaystyle{ L =(0,1,1)}\)
3)wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do \(\displaystyle{ K}\)
i nie wiem za bardzo jak to dalej zrobić....

octahedron · Post autor: **octahedron** » 14 gru 2012, o 22:50

Płaszczyzna \(\displaystyle{ P}\) zawierająca \(\displaystyle{ L}\) ma równanie:

\(\displaystyle{ \alpha(x+y-1)+\beta(3x-y+z)=0\\\\
(\alpha+3\beta)x+(\alpha-\beta)y+\beta z-\alpha=0}\)

wektor równoległy do \(\displaystyle{ K}\) to \(\displaystyle{ [1,2,-1]}\), wektor prostopadły do \(\displaystyle{ P}\) to \(\displaystyle{ [\alpha+3\beta,\alpha-\beta,\beta]}\), więc musi być:

\(\displaystyle{ [1,2,-1]\cdot[\alpha+3\beta,\alpha-\beta,\beta]=3\alpha=0 \Rightarrow \begin{cases}\alpha=0\\\beta\ne 0\end{cases}}\)

czyli

\(\displaystyle{ P:\,3x-y+z=0}\)

rooker · Post autor: **rooker** » 14 gru 2012, o 22:57

A te 2 pierwsze równania płaszczyzny jak zrobić?
wedlug skryptu płaszczyzna ma równanie 3x-5y-7z+12=0

octahedron · Post autor: **octahedron** » 14 gru 2012, o 23:22

\(\displaystyle{ [3,-5,-7]\cdot[1,2,-1]\ne 0}\)

Wektor normalny tej płaszczyzny i wektor kierunkowy prostej nie są prostopadłe.

rooker · Post autor: **rooker** » 14 gru 2012, o 23:31

Jak nie są jak wychodzi że są i założenie jest takie że mają być prostopadłe? a te 2 równania płaszczyzny jak zrobiłeś?

octahedron · Post autor: **octahedron** » 15 gru 2012, o 00:25

A racja, coś mi się pomieszało. Tylko z kolei wektor równoległy do \(\displaystyle{ K}\) to \(\displaystyle{ [1,-1,4]}\) i on nie jest prostopadły do \(\displaystyle{ [3,-5,-7]}\), a powinien.

rooker · Post autor: **rooker** » 15 gru 2012, o 09:41

Czy możesz objaśnić dokładnie jak to zrobiłeś po kolei? Bo już teraz nie wiem co jest dobrze...

octahedron · Post autor: **octahedron** » 15 gru 2012, o 13:14

Najpierw równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez prostą \(\displaystyle{ L}\). Potem wektor równoległy do prostej \(\displaystyle{ K}\) i musi on być prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny, więc liczę iloczyn skalarny.